La quatrième dimension

Légende : Florian en noir – Stéphanie en gris 

Flatland, vous connaissez ?

Depuis qu’elle a décidé de se remettre aux mathématiques, Stéphanie s’est mise en tête de lire quelques livres reliés à ce sujet. Parmi eux figure Flatland. C’était une bonne façon pour elle de se rappeler de bons souvenirs de géométrie euclidienne vue à l’école d’architecture. Pour ne rien gâcher, l’histoire est plaisante et en plus, porteuse de leçons. Bref, un excellent bouquin qu’elle a découvert sur Images des Maths suite à l’article rédigé en décembre dernier par Aurélien Alvarez.

En plus, le livre est une réussite en tant qu’objet. Les finitions et le souci des détails m’ont vraiment beaucoup plu : une couverture mouvante, un texte qui suit les contours de forme géométrique, des reliures en couleur, etc.

L’histoire est simple, un carré, habitant du monde en deux dimensions (le fameux Flatland) prend conscience qu’il existe une troisième dimension après avoir reçu la visite d’une sphère : il s’agit du Spaceland. Le carré dit alors à la sphère qu’un jour elle recevra peut-être la visite d’un être en quatre dimensions. Celle-ci lui rit au nez et reste imperméable à la notion de dimension supérieure. Stéphanie, qui n’est pas une sphère (et je ne suis pas un carré non plus), se mit à réfléchir et une lueur1 apparut dans ses yeux. Elle me demanda alors :

« Et dis donc ! Tu imagines si on découvrait qu’il existait une quatrième dimension !? Bon évidemment, rien à voir avec la série éponyme. Je suis sûre qu’on peut faire une thèse là-dessus ! Viens, on révolutionne les maths ! »

Je ne savais pas quoi dire… Enfin plutôt, je ne savais pas comment lui dire. Comment lui dire que les mathématiciens ont ce super pouvoir de travailler avec quatre, cinq, six et même une infinité (voire plusieurs infinités) de dimensions. Je ne voulais pas briser ses espoirs et ses rêves les plus fous mais je devais m’y résoudre. Je lui expliquais qu’on ne pouvait peut-être pas percevoir ces dimensions mais qu’on pouvait représenter des objets de dimensions supérieures dans notre système à trois dimensions. Je lui donnais l’exemple de la bouteille de klein et pour rester proche de son domaine de base, l’architecture, de la Grande Arche de la Défense. Ce bâtiment n’est autre que la représentation en hypercube de l’espace (Z/2Z)4 : c’est donc un espace en quatre dimensions. C’est un espace certes un peu spécial car il est constitué uniquement de 0 et de 1, mais au moins, on peut approcher la quatrième dimension.

« C’est quoi Z/2? Ça représente quoi ? »

Z, ce n’est pas ce personnage de Pulp Fiction2 aux moeurs sexuelles sado-masochistes. Z, c’est l’ensemble des restes de la division par 2 des entiers relatifs. Donc c’est juste 0 et 1. 0 représente en fait tous les nombres pairs, et 1 tous les nombres impairs. On a alors 0+0 = 0, 1+0 = 1 et 1+1 = 0. Et oui, quand on ajoute deux nombres impairs, on obtient un nombre pair ! Alors (Z/2Z)4 c’est juste l’ensemble de tous les quadruplets possible de 0 et de 1, de (0, 0, 0, 0) à (1, 1, 1, 1) en passant par (1,0,1,0).

Ainsi, on ne révolutionnera donc pas les mathématiques avec la quatrième dimension mais comme d’habitude, la réponse à un problème soulève bien plus de questions qu’elle n’en clôt. Ainsi notre chère Stéphanie est partie sur les longs chemins de la géométrie en n-dimensions puisque rappelons-le, pour certaines infinies. Peut-être arrivera-t-elle bientôt à la topologie, aux espaces hilbertiens et à bien d’autres univers qui sont loin d’être plats.

En attendant d’arpenter ces chemins, elle me répondit alors :

« Oui mais, là, tu me parles de représentation d’éléments contenus dans les n-dimensions. Mais, nous les humains, on ne les voit pas ces autres dimensions, on ne les vit pas. La vraie révolution, ce serait de donner la possibilité aux Hommes de les voir, de les vivre en vrai. C’est comme si un jour, un élément venu de la quatrième dimension venait à nous, pour nous montrer son monde et ainsi révélé, nous pourrions le vivre à notre tour. Donc, il y a encore tout à faire… » 

Je lui racontais alors comment j’avais conceptualisé la sphère en quatre dimensions. Pendant un cours d’intégration en troisième année de licence avec l’excellent M. Candelpergher, où nous calculions le volume de cette fameuse sphère en quatre dimensions, je me dis qu’elle devait tout simplement être une sphère qui grandissait et rapetissait en temps constant. C’est d’ailleurs cette idée qui est développée dans Flatland quand le carré rencontre la sphère : il voit une ligne grandir et rapetisser devant lui avant de comprendre que cette ligne est un cercle. Puis, quand la sphère l’élève dans l’espace, il réalise alors ce qu’est la troisième dimension.

Nous attendons toujours que cette sphère en quatre dimensions se manifeste, peut-être nous emmenera-t-elle avec elle !

Alors bien sûr, je continue de me poser plein de questions à propos de toutes ces dimensions. Généralement, il est dit que la 4ème dimension est le temps. Nous pouvons nous déplacer dans l’espace mais pas dans le temps. Alors peut-être qu’il faut orienter son regard vers cette dimension du temps. Difficile de voir passer le temps si ce n’est sur nos horloges, mais encore plus difficile de pouvoir évoluer sur le fil du temps dans des allers-retours qui seraient parfaitement naturels.

Mais, j’ai encore eu une autre révélation… On parle de la 1ère, 2ème, 3ème, 4ème dimension… Comme si ces dimensions devaient se lire dans cet ordre. Mais qui me dit que les trois dimensions que je perçois en tant qu’humain ne sont pas la 20ème, la 3078ème et la 126947ème dimension ? Que mon système biologique fait en sorte que je ne puisse percevoir que trois dimensions spécifiques parmi les n-dimensions ? Que ces dimensions ne sont peut-être pas consécutives ? Pour revenir au temps comme quatrième dimension, je me demande si nous ne la percevons pas déjà. Si je reprends l’idée de Florian et de sa sphère qui grandit et rapetisse : nous naissons, nous grandissons, nous vieillissons, nous nous ratatinons, nous mourrons. Bref, on fait un cycle qui part de « rien » pour arriver à un « pic » qui redeviendra un « rien ».

Ensuite, si le carré de Flatland perçoit la sphère comme un cercle, cela veut dire que dans notre monde, nous percevrions la sphère 4D comme une sphère 3D qui apparaîtrait dans notre espace. On sait que notre espace est fait d’une infinité de plans. Je m’imaginais recevant la visite de cette sphère 4D et j’ai presque eu peur… Soudain, dans l’espace de ma chambre, surgirait une sphère de nulle part. Et très honnêtement, ma plus grande crainte était quelle puisse me toucher, m’écraser ! Ma crainte fut d’autant plus grande quand Florian m’expliqua que cette sphère pouvait se matérialiser dans mon corps puisque nous sommes des « volumes » en quelques sorte…

Et là, peut-être mon esprit est-il parti trop loin dans les tours de l’imagination. Lorsque je me surpris à imaginer cette sphère qui poussait en moi, je ne pus échapper à l’image du foetus grandissant dans le ventre de sa mère. Et d’un coup, je me mis à penser que c’était peut-être cela l’autre dimension… Que les dimensions fonctionnaient comme des poupées gigognes. C’est à-dire que chacun contiendrait une autre dimension, elle-même contenue dans une autre dimension et ainsi de suite. Alors évidemment, il est difficile parfois de discuter avec Florian et de se comprendre parce que j’use souvent de métaphores et que Florian en tant que bon mathématicien reste dans un discours des plus pragmatiques. Bien sûr que l’enfant dans le ventre de sa mère est en 3D, tout comme sa mère d’ailleurs. Il n’y pas une dimension en plus ou en moins ! Mais c’est par cette vision que j’ai pu comprendre que la dimension supérieure contenait l’ensemble des dimensions inférieures.

Par contre, je suis très déçue du choix sémantique. Si je vous écris n2, vous allez le lire « n au carré ». Si je vous écris n3, vous allez le lire « n au cube ». Mais pour n4 ? On se cantonne au classique « n puissance 4″ ? C’est très frustrant quelque part. Certains parlent d’hypercube… Mais ce n’est pas vraiment « vendeur » ! Mais en même temps, comment nommer les choses quand on ne les a jamais rencontrées ?

La seule chose dont nous sommes sûrs, c’est que la quatrième dimension contient une infinité d’espaces infinis en trois dimensions, comme notre espace contient une infinité de plans en deux dimensions ! Alors forcément notre espace est inclus dans cette quatrième dimension, mais cela ne nous donne malheuresement pas le pouvoir de la percevoir. Je comprends parfaitement la déception de Stéphanie. Par contre cette idée des poupées gigognes est vraiment très bonne. Je renvoie à mon exemple précédent de la Grande Arche de la Défense : l’hypercube en quatre dimensions contient bien le cube en trois dimensions.

En conclusion, nous ne sommes pas prêts de voir cette quatrième dimension, sauf grâce à cette magnifique série télé diffusée en France en 19843 alors que je n’étais pas encore né ou bien encore grâce à notre imagination. Pour cela, je vous renvoie vers le livre de Timothy Gowers, Petite initiation aux mathématiques, au chapitre 5.2 « Peut-on visualiser un espace à quatre dimensions ? » :

« Certains mathématiciens sont spécialisées dans la géométrie à quatre dimensions, et leur puissance de visualisation en quatre dimensions est extrêmement développée.
Cette questions psychologique a une importance mathématique qui va bien au-delà de la géométrie. Un des plaisirs qu’il y a à consacrer sa vie à la recherche en mathématiques est qu’au fur et à mesure que l’on accroît sa compétence, on trouve que l’on devient capable de « voir » les réponses à des questions de plus en plus nombreuses qui auraient pris des heures de réflexion difficile […] » (Gowers, 2011 : 71)

Crédit : photo des Nesting-dolls prise par Elizabeth Ruuska et hébergée sur Flickr, eruuska.

25 Janvier 2013

Aujourd’hui, j’ai découvert un site où l’on peut trouver : « links to lots of cool mathy things on the internet. » Ce site, c’est Math Munch ! Croyez-moi ou non, mais dans leur article « A Closet Full of Puzzles, Sphereland, and Math Doodles«  daté du 21 janvier 2013, ils consacrent un paragraphe à Flatland, le livre (disponible en ligne, en anglais) et le film mais aussi et surtout, à sa suite Flatland 2, sobrement intitulé Sphereland qui s’inspire de l’ouvrage de Dionys Burger publié en 1965. Et là, j’ai poussé un râle de victoire puisqu’il s’agit de la rencontre du 4ème type,4 comprenez celle avec cette fameuse hypersphère venue de la 4ème dimension.

Oh ! J’allais oublier de vous laisser une vidéo fan-tas-tique. Vous y découvrirez la manipulation d’un hypercube5 flexible : un peu de translation par-ci, un peu de symétrie par-là et le tour est joué.

4 Février 2013

Le 26 Janvier dernier, @tribegram6 a organisé un instawalk7 à la Défense : décidément, l’hypercube est à la mode ! Je vous propose de découvrir cette Grande Arche de la Défense sous tous ces angles grâce à quelques clichés.

 

Crédit : photos la Grande Arche de la Défense par @mydame et @cecile_and_co

  1. Un peu comme cette ampoule qui s’illumine au-dessus d’Archimède dans des dessins humouristiques lorsqu’il s’exclame, alors que la lumière révélatrice vient à lui : « Eurêka ! ». []
  2. Célèbre film de Quentin Tarantino sorti en 1994. []
  3. Le titre original est The Twilight Zone, série créée par Rod Serling. []
  4. En référence à ce superbe film de science-fiction, « La rencontre du 3ème type » (titre original « Close encounters of the third kind ») réalisé par Steven Spielberg en 1977. []
  5. Comme la fameuse Grand Arche de la Défense à laquelle Florian faisait souvent référence dans cet article. []
  6. Compte instagram créé à l’initiative de @mydame, une utilisatrice de cette apps photo pour téléphone portable. []
  7. Une balade dans un quartier particulier. []

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