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Les comptes de la crypte

Légende d’un dialogue
L’anthropologue parle/écrit en noir (Stéphanie Messal)
Le mathématicien parle/écrit en gris (Florian Caullery)

Ambiance sonore

Conseils préalables pour fouiller une crypte

A l’occasion de la conférence YACC 20121 qui se déroulait du 24 au 28 septembre sur les îles de Porquerolles, Florian le mathématicien était convié à exposer son travail de recherche en cours : « A new step toward the classification of APN functions »2.

Pour se faire, il a réalisé un Beamer qui est ce qu’on pourrait définir comme l’équivalent d’un PowerPoint mais pour les mathématiques. A la veille de son départ, Florian se décide (enfin) à m’offrir la primeur de son discours. Je relève plusieurs incohérences de présentation : un manque de linéarité, plusieurs allers et retours consécutifs entre les slides qui parasitent au final grandement la compréhension d’un propos qui me semble déjà suffisamment incompréhensible comme ça ! N’étant pas une mathématicienne, je me suis surtout concentrée sur sa présentation, tant dans son propos oral que dans son illustration visuelle. Nous avons donc décidé de reprendre point par point les quelques incohérences du discours pour le rendre plus fluide et plus agréable à entendre et à voir.

Au départ, je voulais surtout me focaliser sur le contenant : la mise en page d’un Beamer (tout comme d’un PowerPoint) est importante si on veut le rendre attrayant et pertinant. Il ne doit pas être le discours oral retranscrit dans son intégralité mais un élément visuel qui reprend les points forts, les notions clés, les définitions spécifiques et bien sûr la structure du discours point par point. Choisir la couleur et recadrer les éléments visuels tels que tableaux, puces, titres fut facile mais réorganiser le contenu prit des proportions inattendues. Comment choisir les mots et phrases clés à conserver sans saisir le sens du propos ? Pour Florian, tout était évident et écrit tel qu’il l’exposait. Mais quand il a fallu déterminer quelles notions devaient rester, comment mettre en lumière un terme plus qu’un autre, nous venions alors de rencontrer une difficulté majeure : comment se comprendre sur nos attentes alors que nous n’utilisions pas le même langage bien que nous communiquions dans une même langue ? Nous parlons tous les deux le français et l’anglais, et la structure des phrases est aisée à saisir pour l’un comme pour l’autre mais… de quoi parle-t-il ? Dès que des termes propres aux mathématiques apparaissaient à l’écran et encore pire quelques savantes formules, ma capacité à comprendre le fondement du propos s’évaporait. C’est tout un pan de vocabulaire spécifique aux mathématiques qui me manquait, néophyte que je suis. Très vite, je me suis retrouvée « larguée », voguant sur des flots de calculs et formules, submergée par un tsunami de questions qui ne trouvaient pas de réponses. Mais ça veut dire quoi ? Ça signifie quoi ? Et cette lettre, c’est un A comme /a/ ? Quelle est l’utilité de ses formules ? A quoi ça sert ?

Florian qui encadre les TD de mathématiques à l’université de Marseille Saint Charles et Luminy depuis maintenant trois ans3, a réagi en bon pédagogue. Il a pris le temps de m’expliquer le contenu de ce beamer dans notre langage commun : le français de tous les jours ! Toutes ces formules obscures me paraissaient certes plus claires mais malgré tout, je restais dans le brouillard. Un de ces brouillards rasants que l’on retrouve souvent dans ces cimetières de vieux films d’épouvante en noir et blanc…

C’est quoi une fonction APN, un polynôme et une fonction puissance ?

Soit mN et f une fonction booléenne vectorielle de F2mF2m. On dit que f est presque parfaitement non-linéaire (ou Almost Perfectly Nonlinear en anglais, ou APN) si ∀a,bF2m,a≠0, l’équation f(x + a) + f(x) = a au plus 2 solutions dans F2m.

En clair et en simplifié, f est un règle pour transformer une suite de 0 et de 1 en une autre suite de 0 et de 1 qui a une certaine propriété.

Chaque fonction booléenne vectorielle de F2mF2admet une représentation unique en un polynôme d’une seule variable à coefficients dans F2m.

En clair et en simplifié, on peut écrire f sous la forme d’une somme de puissances de x.
Par exemple f(x) = x7 + x4 + x2 + x + 1

Les premières fonctions APN que l’ont a trouvé étaient des fonctions dites « puissance », c’est à dire qu’elles ne sont constitués que d’une seule puissance de x.
Par exemple : f(x) = x5

C’est quoi la différence entre une fonction APN et une fonction puissance ?

Ce n’est pas la bonne question. Parce qu’une fonction peut très bien être l’une ou l’autre, ou ni l’autre ni l’autre, ou les deux.

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Fouiller la crypte

« Les premières cryptes (aussi appelées anciennement crutes, croutes ou grottes) ou grottes sacrées ont été taillées dans le roc ou maçonnées sous le sol, pour cacher aux yeux des profanes les tombeaux des martyrs ; plus tard, au-dessus de ces hypogées vénérées par les premiers chrétiens, on éleva des chapelles et de vastes églises ; puis on établit des cryptes sous les édifices destinés au culte pour y renfermer les corps des saints recueillis par la piété des fidèles. »
Wikipedia

 

Florian réalise alors un schéma qui m’éclaire un peu plus. Mais malgré cela, tous ces termes étant beaucoup trop abstraits à mon goûts, je déterminais alors la fonction APN comme étant un crâne ! Partons d’un tas d’ossements où l’on cherche les os « crâne ». Le tas d’ossements représente les fonctions puissance et les crânes sont non seulement des fonctions puissance puisqu’elles font partie du tas d’ossements mais en plus elles sont fonction APN. Dans tout le tas d’ossements, au final, il n’a été possible de trouver que deux crânes : un représente les fonctions Gold et l’autre les fonctions Kasami. Pour caricaturer, on a trouvé deux types de crânes, par exemple de femme et d’homme. C’est ainsi que nous nous sommes retrouvés à chercher un certain type de crâne, Gold et Kasami, dans un plus gros tas d’ossements, une crypte, où se trouve le premier tas d’ossements que nous avions considéré. Cette crypte était l’ensemble des polynômes. Et au milieu de ces ossements, se cachaient des crânes fonctions APN parce que des crânes fonctions APN, il n’y en a vraiment pas des masses par rapport à toutes les fonctions qui existent.

Il faut bien comprendre ici que les fonctions puissance sont des polynômes particuliers. Aussi, les ossements du premier tas sont des os particuliers de la crypte, ils constituent un sous-ensemble des os de la crypte entière. Tout le sujet de ma thèse est de savoir s’il existe ou non d’autres types de crânes dans cette crypte. Pour l’instant, tous ceux qui ont travaillé sur le sujet et moi-même n’avons pas pu fouiller toute la crypte même si nous l’avons déjà bien déblayée. Je m’occupe maintenant des recoins sombres5. Comme nous n’avons toujours trouvé que des crânes d’hommes et de femmes, nous avons émis la conjecture suivante : « dans notre crypte, il n’y a que des crânes d’hommes et de femmes ».

Mais, si on trouve un crâne de chien ? C’est possible, non ? Imagine qu’une petite mamie ait voulu être enterrée avec son petit chien.

Et bien, si l’on découvre un crâne de chien (fusse-t-il mâle ou femelle) cela voudra juste dire que la conjecture était fausse, et si c’est moi qui le trouve je deviens célèbre dans le monde des mathématiques.

Avant de formuler sa réponse de la sorte, Florian répondait : « On ne sait pas si on va trouver un crâne de chien ! » « Mais comment ça on ne sait pas ? » « Non, on ne sait pas. » « Mais enfin si tu trouves un crâne de chien tu es bien capable de me dire ce qu’il va advenir ensuite, non ? » « On ne sait pas. » Je suppose qu’en mathématiques on n’envisage rien à l’avance mais tout de même ! Et il a fallu que je m’obstine pour obtenir une réponse qui me convienne mieux mais qui après tout ne convient peut-être en rien au monde des mathématiques.

Message crypté

Que penser de cette histoire de fouille approfondie, de ces moments passés à discuter et à réfléchir, à creuser et à déblayer comme des apprentis archéologues ?

  • D’abord, que nous n’avons certainement pas choisi d’aller fouiller dans une crypte par hasard. Florian travaillant la cryptographie, c’est donc très naturellement que mon instinct a choisi comme image de comparaison des ossements et des crânes à aller dénicher dans le fin fond d’une crypte. Ce n’est que le lendemain, sous la douche6 que j’ai réalisé que ce choix inconscient était fait en toute conscience par mon moi intérieur.
  • Ensuite, qu’une crypte est le lieu caché par excellence en son sens même. Du latin crypta et du grec ancien κρύπτη, krýptê, de κρύπτω kríptô (« cacher »). Alors cacher quelque chose dans une crypte rend la chose encore plus difficilement trouvable car pour cela, il faudrait d’abord réussir à trouver le lieu où se terre la crypte en question (c’est-à-dire en avoir ses coordonnées géographiques) pour pouvoir ensuite dénicher l’objet caché. Et pour peu que l’on n’en est donné aucune description comment alors savoir que l’objet trouvé fut l’objet caché ?
  • Enfin, que toutes ces histoires de langage crypté sont séduisantes pour l’idée fabuleuse d’en révéler le secret. C’est comme une grande chasse au trésor ! C’est à celui qui trouvera l’objet caché en premier. C’est à celui qui saura trouver ce qui se cache dans la crypte : mensonge ou vérité qu’importe. Quels secrets s’y cachent et rient à notre barbe ? Mais le charme du sens caché ne réside-t-il pas dans le mystère de sa compréhension ? En trouver le sens n’est-il pas le risque d’en dissoudre l’enchantement et avec d’en voir s’échapper toute la magie ? Quant à le révéler au grand jour, à qui revient la responsabilité d’une telle décision ? On se souvient de ce qui s’échappa de la boîte (jarre) qu’ouvrit Pandore… Et l’on se rappelle du terrible secret qui se cachait derrière la porte que la Barbe Bleue ne voulait que l’on n’ouvre… Certains secrets ne devraient-ils pas rester cachés à tout jamais ?

Aujourd’hui, les fonctions APN restent encore un mystère à mes yeux parce que je n’en comprends toujours pas vraiment le sens mathématique, et pour Florian, le seul mystère qui subsiste encore à ses yeux est de savoir où sont les fonctions APN car elles ne sont vraiment pas nombreuses et absolument pas triviales. C’est à ce titre qu’on peut les imaginer dans un jeu de cache-cache régi par un désordre assimilable à ce tas d’ossements éparses où l’on ne saurait dire combien de crânes s’y trouvent, enfouis sous l’amalgame des os, masse confuse.

Dans le fond, je crois que j’aime beaucoup les mathématiques pour tout ce qu’elles réveillent en moi, cette curiosité de l’enfant qui cherche inlassablement jusqu’à trouver. Jamais il ne se fatigue. Il a « […] la rigueur du regard d’indien qui chez les antiquaires, les chercheurs et les fous de livres ne continue à brûler que trouble et maniaque. » (Walter Benjamin) J’ai retrouvé le goût de la quête, de ce mystère qui m’échappe alors que je le frôle du bout des doigts, que je suis si proche de la solution et qu’il s’enfuit encore, repoussant encore plus loin les limites de ma recherche. Est-ce que les mathématiciens seraient des archéologues masqués, sortes d’Indiana Jones secrets ?

  1. Yet Another Conference on Cryptography []
  2. Résumé que vous retrouvez sur le site des Journées Codage et Cryptographie 2012 qui se sont déroulées à Dinard du 7 au 12 Octobre et où le mathématicien a aussi eu l’occasion de présenter son travail. []
  3. L1 Physique-Chimie les deux premières années et Maths-Info cette année. []
  4. Ceci est le silence de ma grande confusion intérieure. []
  5. Tellement sombres que des fois ça fait peur ! []
  6. Haut lieu de réflexion comme expliqué dans un précédent article. []

Il n’y a pas équivalence !

Samedi 22 septembre au soir, j’avais été conviée par Florian au pot de départ de J. Elle quittait leur laboratoire et des adieux de circonstances s’imposaient avec tous les doctorants de l’IML1, tout du moins celles et ceux2 qui avaient répondu présent. Boissons, pâtés, fromages, pains et gâteaux en tout genre étaient au rendez-vous. Tout le monde arrivait tour-à-tour : ne manquait plus que J.

En l’attendant, les conversations allaient bon train. C’est alors que S. nous demanda si elle pouvait demander à un ami (extérieur à l’IML) de nous rejoindre. Les doctorants présents lui répondirent qu’elle pouvait faire comme bon lui semblait. Ce à quoi S. répondit : « C’est quelqu’un de super, vous verrez. Il est sympa : il boit !«  Cette phrase aurait pu être sans conséquence aucune si je n’avais décidé de lui répondre ceci : « Tu sous-entends par là que les gens qui ne boivent pas ne sont pas sympas ? » Et tous en coeur, les mathématiciens s’exclamèrent : « Mais non, il n’y pas équivalence !!! » Imaginez ma tête de non-initiée au discours mathématiques. Je ne comprenais pas pourquoi on me répondait cela et mon air ahuri les amusait beaucoup.

Raisonner comme un mathématicien

Avant de commencer, voici la signification des deux symboles mathématiques qui seront utilisés dans ce paragraphe :

=> implique

<=> équivaut

¬ non

Reprenons l’expression de S. « Il est sympa : il boit ! » et posons :

A : il boit

B : il est sympa

On aurait pu les nommer tout autrement (X ou Y). Et on aurait tout aussi bien pu poser l’inverse, les éléments n’ayant aucune hiérarchie entre eux.

Dans son langage, le mathématicien écrirait :

A => B

et non pas A<=>B

et encore moins B =>A

La seule chose qu’un mathématicien peut déduire de cette phrase c’est que :

 il n’est pas sympa => il ne boit pas, parce que ¬B => ¬A. (C’est ce qu’on appelle la proposition contraposée.)

Mais on ne peut pas en déduire :

il ne boit pas => il n’est pas sympa c’est-à-dire ¬A => ¬B.

On ne peut pas dire que tous les gens qui sont sympas boivent.

Nous avons débattu deux matinées complètes autour de cette phrase. Nous avons griffonné une page complète de A et de B. Mais le discours du mathématicien est celui de la logique abstraite qui prend en compte la phrase au mot le mot, uniquement ce qui est dit en faisant fi des sous-entendus et des émotions.

 

Observer comme un anthropologue

L’anthropologue lui est à l’affut de ces émotions qui vont guider son regard  et orienter ses réflexions sur les rapports qu’entretiennent les différents protagonistes d’une situation entre eux. Alors que le mathématicien sort cette phrase de son contexte, l’anthropologue l’y plonge littéralement. Impossible de faire fi du terrain !

Quelle était la situation ?

Six personnes étaient présentes dans la salle : Florian, V., M., H., T., S. et moi. Tous étaient des mathématiciens sauf moi, qui suis anthropologue. Sur la table étaient disposés un cageot de nourriture ainsi que des sodas, des jus de fruits et des boissons alcoolisées en quantité. S. dans son attitude et ses propos (mais aussi par les traces d’un vécu) affirmait son penchant à la fête et à trinquer joyeusement. Comprenez qu’une bonne soirée est une soirée où l’on finit de façon joyeuse. Elle propose donc d’inviter un ami que nul ne connait et je pense que ma présence lui a d’autant plus offert cette opportunité car moi-même étant une personne rapportée à toute cette équipe. C’est à ce moment qu’elle prononce la fameuse phrase : « Il est sympa : il boit ! » Ici, le regard, le ton et le sourire avaient toute leur importance : un regard de connivence envers ses camarades, un ton amusé et un rire grivois, laissant clairement sous-entendre qu’une soirée où on ne boit pas n’est pas vraiment une soirée et qu’en général une personne qui ne trinque pas est rarement à la fête, pour ne pas dire qu’elle pourrait en gâcher l’ambiance. Ceci me fut confirmé plus tard quand la fête battait son plein. En tant qu’anthropologue, j’aurais pu laisser dire et regarder la scène suivre son cours. Mais nous n’étions pas ici en tant que mathématicien ou anthropologue, nous étions ici pour J. et son pot de départ.

C’est pour cela que de façon un peu taquine, il faut bien l’avouer, je me permis alors de relever ce que S. avait sous-entendu. Une façon de venir la titiller mais aussi une façon de laisser le dialogue s’ouvrir et pourquoi pas de trinquer. Je ne m’attendais pas à ce que les mathématiciens reprennent alors leur place par leur discours scientifique ! C’était d’autant plus étrange, que je venais à cet instant précis de laisser tomber le manteau de l’anthropologue pour n’être qu’à la fête et vivre pleinement cet instant. « C’est la déformation professionnelle ! » comme on dit. Il est vrai qu’on est fait aussi de cela. On ne peut pas renier ce que l’on a appris, ce que l’on sait et encore moins notre connaissance d’un certain savoir d’autant plus quand il est mis en pratique au quotidien. Et ainsi, la pratique du quotidien en devient une pratique scientifique où tout devient propice à la réflexion que l’on soit anthropologue ou mathématicien.

S’entendre au quotidien

ou l’homophonie, art de se faire des idées

Au cours des deux jours passés à discuter de ces histoires d’équivalence, le mot « contraposée » a été plusieurs fois lancé par Florian, le mathématicien. Il n’utilise pas l’expression complète « proposition contraposée » mais uniquement « contraposée » tel qu’il l’a toujours entendu. Et pendant ces deux jours, mon esprit d’anthropologue mais surtout dans ce cas précis de littéraire, visualisait ce mot de deux sortes : « contrat posé » et « contre-apposé » dont je vous livre ici mes deux définitions potentielles.

  • Contrat posé : le contrat qui est posé pour réaliser la déduction de l’équivalence ou de la non-équivalence.
  • Contre-apposé : posé contre, vraiment tout contre. Ce qui par rapport à la situation me laissait penser que ces implications se transformaient en équivalence quand elles étaient vraiment posées contre, tout à côté.

Mais à moment donné, j’ai réalisé que ce mot était féminin : LA contraposée ! C’est dans la salle de bain3 que j’en pris conscience. Je demandais alors à Florian de m’épeler ce mot. Et quelle ne fut pas ma surprise qu’il s’écrivait de la sorte : en un seul mot. Bien sûr, cela changea considérablement la donne sur ma façon de percevoir cette histoire et nos échanges. Mais je n’étais pas si loin de la véritable définition à propos de la contraposition4.

  • Contraposition : Raisonnement logique consistant à affirmer une implication (« si A alors B ») et à poser ensuite la négation du conséquent (« ou, non B ») pour en déduire la négation de l’antécédent (« donc non A »).
    Etymologie : du latin contra- (préfixe qui exprime une opposition, variante de contre-) et du latin positio, de ponere (« placer, poser »).

Son étymologie me rapproche de ma première idée. Question de déduction grâce à mes cours de latin au lycée, je suppose.

Je découvre au jour le jour l’univers des mathématiciens. C’est une façon de percevoir le monde et de le penser différemment mais elle n’est pas si lointaine de l’activité anthropologique : une pratique scientifique au/du quotidien.

A suivre…

  1. Institut de Mathématiques de Luminy []
  2. Je remercie Niels Bohr d’avoir soulevé cette faute. []
  3. Haut lieu de réflexion ! []
  4. Définition donnée sur wiktionnaire – http://fr.wiktionary.org/wiki/contraposition []

Presque partout

Le discours de l’anthropologue face au discours du mathématicien.
La rencontre de deux domaines scientifiques aux discours radicalement différents.
Un discours commun est-il possible ? Comment communiquer ? Quelle solutions existent ?
Métaphore, abstraction, contexte, ton, expression, comparaison, émotion, rationalité sont au rendez-vous de ce lieu de réflexion, lieu de rencontre entre SHS et Sciences Exactes.
Cette rencontre donnera lieu à une étude empirique de plusieurs situations inattendues et surprenantes.