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Histoire de tarte aux fraises

Ou comment le beurre devint fonction de la farine.

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Le week-end dernier, j’ai confectionné de mes petites mains une tarte aux fraises. La pâte brisée n’était pas aussi chouette que d’habitude tout ça parce que je l’ai utilisée sans l’avoir laissée reposer.1 Alors que nous dégustions les dernières parts de la tarte, j’émis à Florian mon avis sur la question :

« Au final, je trouve que la pâte a plus le goût de la farine que le goût du beurre. Et pourtant j’ai respecté les proportions. Peu importe le poids de la farine ou du beurre, ce qui compte c’est qu’il y ait x grammes de farine et x/2 grammes de beurre. »

Florian releva la tête2, une lueur d’espoir dans le regard :

« Si tu commences à parler comme ça, ça veut dire que je peux te parler comme un mathématicien tous les jours ? »

Devais-je répondre oui ou non ? J’étaye mon propos avec un exemple concret :

« Normalement il faut mettre 250g de farine pour 125g de beurre mais comme le plat est plus petit qu’un plat à tarte standard, j’ai mis 200g pour 100g. »

Et là, le cri de joie de Florian :

« OUI ! D’où le concept de fonction. Je t’explique ! »

Il se saisit d’un stylo et commence à m’écrire tout cela sur le tableau à l’aide de schémas et de formules mathématiques.

Où l’on découvre les différentes caractéristiques des fonctions

Fonction

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Fonction inverse

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Composer les fonctions

Monotonie d’une fonction bijective

Fonction surjective

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On voit sur la figure un exemple de fonction qui n’est pas surjective sur l’intervalle [0,600]3 car elle ne prend pas toutes les valeurs comprises dans cet intervalle. Par contre, elle est surjective sur l’ensemble {0, 200, 400,  600},4 et oui ! En effet, elle prend toutes les valeurs de cet ensemble.

Fonction injective

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On voit sur la figure un exemple de fonction qui n’est pas injective car elle prend plusieurs fois la même valeur. Par contre, il est possible de trouver des bouts de cette fonctions où elle est injective, par exemple entre 0 et le premier point marqué (en rouge sur la courbe) car elle ne prend qu’une seule fois la même valeur dans cet intervalle.

Fonction bijective

La prochaine fois, nous apprendrons comment diviser un œuf, surtout quand il n’est pas dur et sans en mettre partout.5 Et comment défier les graduations d’un verre doseur autrement qu’à vue de nez !

  1. Ça m’apprendra à être absorbée par mon travail de recherche. []
  2. Alors qu’il était complètement absorbé à la dégustation de sa tarte entièrement recouverte de chantilly. []
  3. On utilise les crochets pour signifier TOUTES les valeurs comprises entre 0 et 600 dans le cas qui nous concerne. []
  4. On utilise les accolades pour signifier une énumération de valeurs spécifiques. []
  5. Ça, c’est beaucoup moins sûr ! []

La Villariété : variété réflexive

Il y a un an, l’anthropologue et quelques-un(e)s de ses relations en sciences humaines ouvraient un carnet de recherche qui avait comme sujet la réflexivité dans leurs travaux. Il fut nommé « Espaces réflexifs » puis bientôt supplanté par « la Villa réflexive ». Un espace réflexif ? Hmm, ça me rappelle mes cours d’analyse fonctionnelle. Un rapide tour sur wikipédia suffit à rafraichir la mémoire mais je l’avoue, ça date et je ne saurais vraiment expliquer au néophyte l’intérêt d’un tel espace. Déjà, on sentait poindre le bout de son nez d’un petit jeu amusant, celui de donner un sens mathématique aux textes des sciences humaines et sociales. Le jeu inverse avait déjà été exploré. Il est vrai que les mathématiques empruntent le vocabulaire de la vie courante que l’on peut détourner à loisir. Cet article de Valerio Vassalo en est un exemple très amusant.

Chaque fois que ma moitié finit d’écrire ses articles, que ce soit pour la Villa réflexive, ses autres carnets de recherche ou sa thèse, elle les relit à voix haute. J’écoutais d’une oreille mais un passage retint mon attention :

« Mais un espace, c’est quoi ? J’aime beaucoup ces premiers mots donnés par le cnrtl : “Milieu idéal indéfini…” Un milieu, un environnement, un endroit dont on ne peut vraiment définir la forme et les contours mais dont on connait le lieu virtuel. C’est un espace numérique que l’on peut trouver sur le web à l’adresse suivante : http://reflexivites.hypotheses.org !1  C’est un milieu donc au milieu de nulle part ou peut-être de partout (enfin presque) : comment savoir ? Mais c’est un milieu idéal, rêvé, imaginé par une communauté. Et c’est ainsi que d’indéfini, cet espace se définit avec le temps et ses résidents. Cet espace ? Non, ces espaces ! Car, c’est ainsi qu’ils ont été définis à la base : pluriels ! Et pour cause ! Car à chaque mois et avec l’arrivée d’un nouveau résident, c’était un autre espace qui s’ouvrait à nous, un autre monde, un autre univers, un autre milieu, juste à côté du milieu précédent ou peut-être encore plus loin. Mais il était autre. Et c’est la singularité de chacun qui engendra cette pluralité des espaces. Des espaces idéaux… plus vraiment indéfinis car habités. Et en posant ses valises, le résident en dressait le nouveau décor. »
Messal, Stéphanie (26 décembre 2012) “Conte féérique pour Villa réflexive”. Espaces réflexifs [carnet de recherche]. Consulté le 13 Janvier 2013 – http://reflexivites.hypotheses.org/3577

Espace, idéal, défini, indéfini, milieu, base, singularité… Mais ça parle de maths !!!1 On ne pouvait pas laisser passer cette opportunité : c’était pile dans notre thématique. Me voilà donc au travail pour donner un sens mathématique à cet extrait.

Extraire

La première notion qui apparait est celle d' »espace« . Un espace en mathématiques, c’est assez général et puis ce ne sont pas les types d’espace qui manquent. Pour l’instant, ça ne restreint pas trop le champs de recherche. En plus, nous sommes en présence d’un espace indéfini et flou. Vais-je devoir replonger dans mes cours de topologie ? La deuxième notion est celle d' »idéal« . A ma connaissance, on parle des idéaux uniquement en algèbre. Me voilà déjà plus en terrain connu. Dans la suite du texte, les espaces sont d’un coup définis par une troisièmes notion : des « bases« . Bases, idéal… mais ça sent la géométrie algébrique à plein nez ! Et puis, la dernière notion, celle de « singularités« , qui apparait dans cet extrait me le confirme. Tout cela va m’amener à considérer la Villa réflexive comme une variété algébrique. Je décide de lui donner pour nom : « villariété » ! Cette villariété possède donc des singularités selon le texte : on dit donc que c’est une variété algébrique singulière. Le seul hic, c’est que les singularités ne sont pas trop mon fort, alors me voilà en quête d’aide. Je demande à mon ami et collègue V. quelques conseils.

1er échange en date du 4 Janvier 2013

date : Fri, Jan 4, 2013 at 12:44PM
from: Florian Caullery <…@gmail.com>
to: V. D. <…@gmail.com>

Salut V. et bonne année !

J’aurais besoin de tes lumières pour une question de géométrie. Stéphanie a écrit ce texte http://reflexivites.hypotheses.org/3577 et le troisième paragraphe utilise beaucoup de termes mathématiques. Elle m’a demandé de traduire ce que cela pourrait dire en mathématiques. Le problème, c’est que je n’y connais rien sur les singularités… Est-ce que toi tu pourrais tirer quelque chose de ce texte ?

Merci de ton aide !

Florian

date: Fri, Jan 4, 2013 at 6:46 PM
from: V. D. <…@gmail.com>
to: Florian Caullery <…@gmail.com>

Ça me semble faisable de rentrer du contenu mathématiques dans ce paragraphe. Quand tu considères une variété sur un corps algébriquement clos, tu as une infinité de points et à chacun de ses points, tu associes son espace tangent qui est défini en quelque sorte par les dérivées au point des équations de ta variété (regarde le chapitre « local study » du cours de géométrie algébrique sur la page de James Milne ou…wikipédia). Tu as donc une infinité de ces espaces tangents. Maintenant, un point est dit régulier ou non-singulier, lorsque la dimension (en tant qu’espace vectoriel) de cet espace tangent est égal à la dimension (géométrique) de ta variété, et singulier sinon. Au final, tu as donc une « notion de groupe » qui est la dimension de ta variété, et un point est singulier s’il ne respecte pas cette « notion de groupe » dans le sens où sa « notion locale » diffère de la notion globale (i.e. de groupe). Une variété (c’est-à-dire au final un espace géométrique algébrique) est donc « idéale » (c’est-à-dire non-singulière, mais globalement cette fois) si tous ses points sont réguliers. Par contre, elle est « définie » par des équations. Mais un schéma qui généralise la notion de variété est en général un objet défini de manière totalement abstraite c’est-à-dire non spécifié par des équations, et en ce sens peut être vu comme « indéfini » (cf Hartshorne ou…wikipédia =D). La notion de point singulier s’étend aux schémas, donc au final tu as trouvé ton espace indéfini idéal. =)

V.

2ème échange en date du 5 Janvier 2013

date: Sat, Jan 5, 2013 at 10:06 AM
from: Stéphanie Messal <…@wanadoo.fr>
to: V. D. <…@gmail.com>
cc: Florian Caullery <…@gmail.com>

Hello !

Bon alors, V., je ne voudrais pas te péter le moral mais… je n’ai rien compris ! Et Florian ne sait pas ce qu’est un schéma. Donc il dit qu’il est dans la merde.
Dire qu’à la base, je voulais faire un truc simple : juste à partir du paragraphe pour faire une construction mathématiques. Que ça donne une équation ou une figure géométrique ou que ça fasse référence à un théorème, etc. Enfin quelque chose dans le genre… Donc au final, on est toujours au point zéro.
Est-ce que tu crois qu’il te serait possible d’éclairer notre lanterne de façon plus… simple ? Ou sinon, mercredi je serai au labo avec Florian pour aller au CIRM : il y a la conférence d’ouverture pour les maths 2013. On pourra toujours en rediscuter à ce moment-là si tu préfères

Merci d’avance.

Bises :^)

Stéphanie

date: Sat, Jan 5, 2013 at 13:20 PM
from: V.D. <…@gmail.com>
to: Stéphanie Messal <…@wanadoo.fr>

Tape « tangent space » sur google images, tu auras plein de dessins. Le premier représente la sphère de Riemann et son espace tangent à un point quelconque (attention, la sphère est « creuse »). C’est un objet de dimension 2 vu sur les réels, donc de dimension 1 si vu comme objet complexe : c’est P^1(C), la courbe rationnelle. Son espace tangent est un plan réel comme tu peux le voir sur le dessin, donc encore une fois un objet de dimension 1 comme C-espace vectoriel. Les dimensions coïncident donc le point est non-singulier. Évidemment ça marche pour tous les points de la sphère, donc elle est elle-même non-singulière. Mes explications d’hier ne traitent que la version plus générale de ce genre de phénomènes.

Tu n’as pas besoin de savoir ce qu’est un schéma, la définition est compliquée. C’est juste que ça généralise la notion de variété.
Ce que j’ai expliqué hier et aujourd’hui c’est de l’ultra classique en géométrie, ça fera de la bonne révision à floflo. =)
Fais le bûcher jusqu’à ce qu’il soit capable de t’expliquer clairement. =D

A mercredi alors ! =)

V.

Nous n’avions pas la même lecture car lui, essayait de garder cette notion d’indéfini alors que je l’avais oubliée dès lors que l’espace était devenu défini. En plus, j’avoue ma totale ignorance sur les schémas.2 Je décide donc de rester avec ma villariété et ses singularités qui, pour reprendre l’idée de l’extrait, sont les auteurs de Villa.

Résoudre

Comme vous avez pu vous en rendre compte dans les échanges de mails, Wikipédia est une assez bonne base de données mathématiques. Je  la consulte alors pour savoir ce que l’on peut faire de ces singularités. Très vite, deux choix s’imposent à moi :

  1. Soit on les éclate.
  2. Soit on les résoud (dans le cas plus général).

Pas question d’aller « éclater » un quelconque auteur ! Quant à les résoudre… Cela fonctionne bien pour des singularités mathématiques mais pour des hommes… Quoiqu’il en soit, les deux méthodes répondent à ce même but : transformer une variété singulière en une autre non-singulière ou lisse comme on dit, en la plongeant dans un espace différent. Pourquoi résoudre ces singularités me direz-vous ? Parce qu’en mathématiques, une singularité est un point où une variété est mal définie : il y a quelque chose qui gêne, qui coince… On dit qu’elle se comporte mal. Par exemple, cette courbe en deux dimensions (à gauche sur le schéma ci-dessous) donne l’impression de passer deux fois par le point 0 (l’origine du repère). On dit qu’elle possède un point double. Ce point, différent des autres, est une singularité. Il est gênant car si l’on voulait représenter cette courbe avec un fil et rester toujours à la même hauteur, nous serions obligés de couper ce fil. Pour éliminer cette singularité, nous allons passer dans la troisième dimension (à droite sur le schéma). Nous voyons ainsi que la courbe ne passe plus deux fois par le même point : elle se déploie dans l’espace. Plus besoin de couper le fil ! Il suffisait de se déplacer dans une nouvelle direction pour changer son point de vue et ainsi de pouvoir percevoir cette courbe de façon lisse, c’est-à-dire, sans plus aucune singularité disgracieuse. Grâce à cette transformation, la courbe est parfaitement définie en tous points.

Singularité

Afin de mieux comprendre cette singularité, nous nous sommes déplacés d’un espace à un autre. Pour reprendre l’idée de Marie-Anne Paveau et de façon imagée, nous avons fait un « pas de côté ». C’est ici que le parallèle avec les Espaces réflexifs prend tout son sens. A chaque nouvel invité, c’est un autre espace qui s’étend dans la Villa réflexive et rejoint ceux déjà présents. Et bien sûr, chaque auteur y pénètre avec ses singularités propres : doutes, remises en question, réflexions sur son travail de recherche, etc. Cette Villa contient désormais une pluralité d’espaces.3 Tous ces espaces ainsi réunis sont autant de points de vue différents afin de mieux pouvoir appréhender toutes ces singularités, les exposant sous un angle nouveau mais aussi à d’autres regards.

Si je devais définir la villariété : « C’est l’ensemble des éléments (environnement et auteurs) qui constituent la Villa réfléxive ». Chaque auteur serait une singularité de cette variété et engendrerait une transformation de la Villa durant son séjour. A chaque nouvelle arrivée, la Villa se rapprocherait d’une variété lisse, c’est-à-dire qu’elle tendrait vers une vision plus fine et plus nette de la réflexivité, comme on ferait une mise au point via un objectif pour en obtenir la meilleure résolution qui soit.

IMG_2995crédit photographique : Stéphanie Messal

  1. En plus, elle fait référence à « Presque Partout ». []
  2. Lorsque j’avais posé la question de leur utilité pour ma thèse à mon directeur, il me donna cette réponse : « Les schémas… Il y a des gens qui en font ici (en parlant de notre laboratoire) mais ça ne donne pas grand chose. » Bon… je verrai ça quand j’aurai du temps. []
  3. Dont le nombre ira croissant dans le futur, nous le lui souhaitons. []

2, ce premier des premiers

 Légende : Florian en noir – Stéphanie en grisJ. en rouge

Cher carnet,

Aujourd’hui encore, j’ai dû briser les rêves de révolutions mathématiques de Stéphanie.

Après avoir dévoré Flatland, Stéphanie s’est lancée dans la lecture de Cinq minutes de mathématiques de Ehrhard Behrends, un recueil d’articles mathématiques d’un journal allemand. Ce livre de vulgarisation particulièrement bien fait, aborde des notions de base et certaines bien plus évoluées. Je vous en conseille vivement la lecture pour peu que vous vouliez vous mettre aux maths !

Il faut préciser ici que ce livre a été fièrement gagné lors d’un concours organisé par le CIRM par votre serviteur et ses amis doctorants M. et J. Il a fallu déployer tout notre savoir faire ((On a résolu des systèmes à trois équations et trois inconnus sans MAPPLE (un logiciel de calcul formel). Et on a utilisé une cryptanalyse fréquentielle. Soyons fous !)), courir, crier, s’agiter dans la bibliothèque pour venir à bout de notre énigme avant la hordesde lycéens1 lancée dans cette chasse aux trésor. Victoire les amis ! Malgré le fait que le diplôme accréditant notre succès nous ait été refusé, nous avons réussi à ramener un exemplaire du livre en question.

Stéphanie en lectrice assidue tombe sur le problème des grands nombres premiers.2 Dans ce problème, on choisit deux grands nombres premiers p et q, on les ajoute entre eux p+q=k, et on nous dit que forcément k est pair.

Mais pourquoi diable est-il pair ?
Et bien parce que est la somme de deux nombres impairs.
Ah parce qu’un nombre premier est forcément impair ?
Ils sont tous impairs sauf le chiffre 2. Et en plus c’est le premier nombre premier.
Oh mon dieu mais… c’est génial ! Pourquoi c’est le seul nombre premier pair ? Le pauvre, il est tout seul. En même temps, tu te rends compte qu’en plus d’être le seul nombre premier pair, c’est le tout premier des nombres premiers !  Et pourquoi personne n’a écrit là-dessus ?
Peut-être parce que c’est très basique comme question. Si un nombre est pair et différent de 2, il est au moins divisible par 1, 2 et lui même, donc  il contredit la définition d’un nombre premier.
Mais pourquoi lui ?

Là, je reste perplexe :

Mais je viens de te l’expliquer…

Je passe les redites et autres ré-explications qui ont abouti à cette sentence fatidique :

Je suis déçue… Tu vas appeler ton ami J. : il est beaucoup plus pédagogue que toi !

Après une longue série d’appels téléphoniques, nous parvenons à joindre J. et à obtenir de sa part quelques explications.

En fait, c’est une histoire de sémantique. On a juste donné un nom au fait d’être un multiple de 2, comme on aurait pu en donner un au fait d’être un multiple de 3.

Cette explication parvint à convaincre Stéphanie mais elle fut terriblement déçue.3 J. le comprit assez rapidement et lui donna en exemple quelques propriétés assez sympathiques du chiffre 2.

Les quelques propriétés sympathiques de 24

  • Tout nombre entier peut s’exprimer comme somme de puissances de 2 distinctes. C’est à dire que je peux écrire n’importe quel nombre entier (0, 1, 2, 3, etc.) comme (0 ou 1) x 20 + (0 ou 1) x 21 + (0 ou 1) x 22 et ainsi de suite.
    Par exemple 5 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20.
    Ainsi, 5 se traduirait en binaire par 1012.5
    Écrire les nombres de cette façon, c’est les écrire en base 2. C’est grâce à cette propriété que 2 joue un rôle très important en informatique. Nous ne sommes pas habitués à écrire les nombres comme cela car nous utilisons dans la vie de tous les jours non pas la base 2 mais la base 10. En effet, chaque nombre se décompose en unité, dizaine, centaine, etc. Dans le tableau de représentation binaire des chiffres ci-joint, nos unités de mesure sont de gauche à droite 23, 22, 21 et 20, ce qui reviendrait dans notre base 10 à écrire, les milliers, les centaines, les dizaines et les unités. Aussi on voit que, en base 2, 5 s’écrit 0101 mais on lit 101. Tout comme, si en base 10 j’avais par exemple 0399, je ne lirais pas le 0 des milliers ((Parce que des 0, on pourrait en mettre une infinité.)) et je passerais directement à la centaine, en lisant 399. Heureusement que cette propriété existe sinon sans elle, pas d’ordinateur.6
  • 1 + 2 + 4 + 8 + … +2n = 2n+1-1 ou la fameuse histoire des grains de riz sur l’échiquier.

La légende du brahmane Sissa, ministre du roi Chêch-Rama. L’homme qui imagina les échecs.

Grains of rice on the chess board
Audrey Penven aka y3rdua sur flickr

Lorsque le brahmane exposa sa découverte au souverain, celui-ci , transporté de joie, lui donna à choisir la récompense qui lui paraissait la plus convenable. Sissa demande qu’il lui fut remis un grain de blé7 pour la première case de l’échiquier, deux grains pour la seconde, quatre pour la troisième, et ainsi de suite en doublant le nombre de grains de blé à chacune des 64 cases de l’échiquier. Le roi ne put s’empêcher de rire de cette demande : mais lorsque le calcul fut fait, il se trouva que tous les greniers du royaume, ceux même de l’Asie, que dis-je ? du monde entier, n’auraient pu suffire à fournir la quantité de blé qui était due au brahmane.
En effet, savez-vous à quel chiffre s’élevait le nombre de grains de blé produit par les 64 casiers de l’échiquier ? A

18 446 744 073 709 551 615

c’est-à-dire, de quoi former une couche de 10 mètres d’épaisseur sur une surface de 5750 kilomètres carrés, égale à 82 fois la superficie de Paris.
– Je vous disais bien, interrompit le docteur, que le jeu d’échecs avait été fait pour les mathématiciens ; l’inventeur me fait l’effet d’avoir été diantrement fort en multiplication, car, si je ne me trompe, le nombre que vous venez de nous citer représente 18 milliards de milliards. C’est vertigineux !

Vincent PIERRE, 1882. A bâtons rompus, causeries scientifiques. Paris, Hachette. (36-38)

Pour l’anecdote, il est dit en fin de certaines légendes que le roi ne pouvant répondre à la requête du brahmane lui fit trancher la tête…
En attendant et pour revenir à notre propriété, ce nombre gigantesque de grains de blé est égal à 265 – 1.

  • 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = Σn>01/2n  = 1. Cette série est liée au paradoxe de Zénon. En effet, imaginons que l’on souhaite aller d’un point A à un point B. On parcourt d’abord la moitié de la distance AB, puis on parcourt la moitié de la distance restante, etc. On se dit alors que nous n’arriverons jamais au point B. Mais c’est oublier le fait que nous mettrons 2 fois moins de temps à parcourir une distance 2 fois plus courte. Le résultat présenté nous assure donc que nous arriverons un jour.
    Étayons le propos avec un archer. Il tire une flèche en direction de sa cible. La flèche va parcourir la moitié de la distance (1/2). Ensuite, elle va parcourir la moitié de la distance restante (1/4). De là, elle va encore parcourir la moitié de la distance restante (1/8), etc. Donc la distance qui lui reste à parcourir est divisée par 2 à chaque étape ce qui fait… qu’elle n’arrivera jamais car la distance restante ne sera jamais égale à 0. Mais là aussi, c’est faire fi du facteur temps.
    Quelque chose me dit que l’archer n’était pas très doué en matière de tir à l’arc et qu’il ratait bien souvent la cible. Alors ce paradoxe était une excuse merveilleusement trouvée pour lui. Ainsi il pouvait justifier le fait que sa flèche n’atteignait jamais la cible.

La thèse en caractéristique 2

En mathématiques

2 joue aussi un rôle très important dans ma thèse. En effet, celle-ci est très reliée à l’informatique aussi je travaille en binaire, c’est-à-dire que je ne m’autorise pas d’autres nombres que 0 ou 1. En mathématiques, on dit qu’on se place en caractéristique 2. Cela veut dire que je ne peux avoir, au plus, qu’un seul exemplaire d’un même objet mathématique. Dès que j’en ai deux, je ne veux plus les voir et je les fais disparaitre ! (Quel magicien !) En particulier 1 + 1 = 0 et faire une soustraction revient à faire une addition. Je n’ai donc pas à m’encombrer du signe – : cela m’évite bien des erreurs. Je peux aussi obtenir de très belles relations mathématiques que tous mes collègues jalousent.8  Pour pousser un petit peu plus loin : si j’additionne trois fois le même objet, j’obtiens… le même objet ! En particulier, 1 + 1 + 1 = 0 + 1 = 1.

Et si j’additionne quatre fois le même objet, j’obtiens de nouveau 0 et ainsi de suite. En fait, dès que j’ai un nombre pair de mêmes objets, je les jette.
Où ça ? A la poubelle ?

Mais non. Juste dans les oubliettes des mathématiques prévues à cet effet. En mathématiques, quelque chose dont on ne se soucie plus, disparaît purement et simplement. Aucun risque de pollution ! C’est comme s’il n’avait jamais existé. Pour revenir à ma caractéristique 2, si j’ai un nombre impair d’objets, je n’en garde qu’un seul.
Et pourquoi pas tous ?
Parce qu’un nombre impair, c’est un nombre pair + 1. Donc, c’est 0 + 1. Donc, c’est 1 : il n’y en a donc qu’un seul. L’évidence même !

Il est tout à fait possible d’imaginer ce même raisonnement avec un autre nombre que 2, mais si l’on veut conserver certaines propriétés mathématiques essentielles, nous sommes obligés de le choisir parmi les nombres premiers. On pourrait prendre 3 comme caractéristique, par exemple. J’aurais alors 1 + 1 + 1 = 0.

Il est aussi sympathique de voir que des tas de théorèmes très compliqués sont valables pour toutes les caractéristiques sauf 2.9 Nous sommes alors obligé de traiter le cas de 2 à part. Je ne me lancerai pas ici dans l’exposé de ces théorèmes fort compliqués mais sachez que cela rend notre petit nombre encore plus intéressant.

Grâce à cette caractéristique, j’ai pu fièrement énoncer à Stéphanie ce fameux théorème : « Pour moi, 2 c’est nul ! »

En anthropologie

2, c’est peut-être nul, mais je continue de me poser beaucoup de questions à son sujet. Et comme une partie de ma thèse traite notamment du don,10 je ne peux m’empêcher de faire ce parallèle : comment donner si l’on est seul ? On ne peut donner que si l’on est deux, il me semble. A moins d’être à ce point foncièrement narcissique et de s’aimer au point de se donner à soi-même. Mais oublions ce cas particulier un instant et revenons à ce don qui nécessite deux personnes : un donateur et un donataire.

Dans ma thèse, 1 personne + 1 personne = 2 personnes. Mais, 1 personne + 1 personne = 0, 1, 2 ou x dons selon que chacun des protagonistes de la situation donne ou pas. Et s’il donne, la quantité du don dépendra de sa générosité. Mais faisons simple et réduisons le don à sa plus simple expression : le geste, l’acte en lui-même. Aussi, on obtiendra comme résultats possibles entre deux personnes :

  • 0 si personne ne donne rien,
  • 1 si une seule des deux personnes donne à l’autre,
  • ou 2 si les deux personnes se donnent mutuellement quelque chose. 

Dans le dernier cas, le chiffre 2 signifie alors un forme particulière du don : il représente un véritable échange, une transaction où au final chacun se retrouve avec un objet. On pourrait dire que chacun revient à son état d’origine. La personne A était venue avec son objet a et la personne B était venue avec son objet b. On avait donc Aa et Bb. Une fois l’échange accompli, on obtient Ab et Ba. Et si l’on fait fi de la valeur du don comme nous l’avons déterminé précédemment et que seul compte le geste, l’acte de donner, alors Ab = Aa et Ba = Bb. Personne n’est lésé : c’est un échange équivalent. Si on implique la notion de valeur à l’objet donné alors chacune des deux parties trouvera un arrangement dans cet échange de façon à ce que chacun reparte en ayant la sensation d’avoir fait une bonne affaire. Mais un échange n’a jamais rien de simple et Michel Foucault ne manque pas de nous le rappeler11 :

« On échange dans le troc que si chacun des deux partenaires reconnaît une valeur à ce que détient l’autre. En un sens, il faut donc que ces choses échangeables, avec leur valeur propre, existent à l’avance entre les mains de chacun pour que la double cession et la double acquisition se produisent enfin. » (p.203)

Une chose est sûre, pour qu’il y est échange, que ce soit une transaction, une conversation, une relation ou tout autre, il faut être au moins deux. On a besoin de cet autre en tant qu’autre, pour pouvoir être soi. Ces relations d’échange peuvent être conflictuelles ou équilibrées, remplies d’amour ou de haine. Maurice Godelier12 l’écrit bien, le don contient un double rapport :

« Deux mouvements opposés sont donc contenus dans un seul et même acte. Le don rapproche les protagonistes parce qu’il est partage et les éloigne socialement parce qu’il fait de l’un l’obligé de l’autre. […] Le don est, dans son essence même, une pratique ambivalente qui unit ou peut unir des passions et des forces contraires. Il peut être, à la fois ou successivement, acte de générosité ou acte de violence, mais dans ce cas d’une violence déguisée en un geste désintéressé puisqu’elle s’exerce au moyen et sous la forme d’un partage. » (p.21)

Décidément ce chiffre 2 est un Janus incarné, ambivalent au possible, représentant tour à tour l’union ou la division. Oui, en mathématiques par exemple pour faire une union d’ensemble, on est obligé d’en avoir deux au minimum. Et puis, c’est le plus petit entier naturel qui change le résultat de la division et de la multiplication. Quand on multiplie ou divise par 1, ça ne change rien. Alors qu’avec 2 en multipliant un objet, on le double et en le divisant, on le réduit de moitié. Et puis surtout, il reste le premier des nombres premiers unique en son genre puisque pair, et même si tout cela n’est qu’affaire de sémantique, cela le rend très séduisant.

  1. Au nombre fantastique de… trois. []
  2. Un nombre premier est un nombre entier qui est uniquement divisible par 1 et par lui-même. On refuse d’attribuer à 1 la caractéristique d’être premier car 1 n’est pas différent de lui-même. []
  3. Bien plus que par la simplicité de cette explication. []
  4. Au milieu de tant d’autres. []
  5. Ce 2 en indice signifie que l’on est en base 2. Ainsi on évite toute confusion avec la base 10. []
  6. En tout cas en écriture binaire. []
  7. Ou de riz selon les légendes. []
  8. Certains en viennent même à dire que je ne fais pas de vraies mathématiques. []
  9. Notamment pour les courbes elliptiques []
  10. Marcel Mauss, 2008. Essai sur le don. Paris, Presses Universitaires de France. []
  11. Michel Foucault, 2011. « Échanger », Les mots et les choses. Mesnil-sur-L’Estrée, tel Gallimard. []
  12. Maurice Godelier, 2010. L’énigme du don. Malesherbes, Champs essai. []

La quatrième dimension

Légende : Florian en noir – Stéphanie en gris 

Flatland, vous connaissez ?

Depuis qu’elle a décidé de se remettre aux mathématiques, Stéphanie s’est mise en tête de lire quelques livres reliés à ce sujet. Parmi eux figure Flatland. C’était une bonne façon pour elle de se rappeler de bons souvenirs de géométrie euclidienne vue à l’école d’architecture. Pour ne rien gâcher, l’histoire est plaisante et en plus, porteuse de leçons. Bref, un excellent bouquin qu’elle a découvert sur Images des Maths suite à l’article rédigé en décembre dernier par Aurélien Alvarez.

En plus, le livre est une réussite en tant qu’objet. Les finitions et le souci des détails m’ont vraiment beaucoup plu : une couverture mouvante, un texte qui suit les contours de forme géométrique, des reliures en couleur, etc.

L’histoire est simple, un carré, habitant du monde en deux dimensions (le fameux Flatland) prend conscience qu’il existe une troisième dimension après avoir reçu la visite d’une sphère : il s’agit du Spaceland. Le carré dit alors à la sphère qu’un jour elle recevra peut-être la visite d’un être en quatre dimensions. Celle-ci lui rit au nez et reste imperméable à la notion de dimension supérieure. Stéphanie, qui n’est pas une sphère (et je ne suis pas un carré non plus), se mit à réfléchir et une lueur1 apparut dans ses yeux. Elle me demanda alors :

« Et dis donc ! Tu imagines si on découvrait qu’il existait une quatrième dimension !? Bon évidemment, rien à voir avec la série éponyme. Je suis sûre qu’on peut faire une thèse là-dessus ! Viens, on révolutionne les maths ! »

Je ne savais pas quoi dire… Enfin plutôt, je ne savais pas comment lui dire. Comment lui dire que les mathématiciens ont ce super pouvoir de travailler avec quatre, cinq, six et même une infinité (voire plusieurs infinités) de dimensions. Je ne voulais pas briser ses espoirs et ses rêves les plus fous mais je devais m’y résoudre. Je lui expliquais qu’on ne pouvait peut-être pas percevoir ces dimensions mais qu’on pouvait représenter des objets de dimensions supérieures dans notre système à trois dimensions. Je lui donnais l’exemple de la bouteille de klein et pour rester proche de son domaine de base, l’architecture, de la Grande Arche de la Défense. Ce bâtiment n’est autre que la représentation en hypercube de l’espace (Z/2Z)4 : c’est donc un espace en quatre dimensions. C’est un espace certes un peu spécial car il est constitué uniquement de 0 et de 1, mais au moins, on peut approcher la quatrième dimension.

« C’est quoi Z/2? Ça représente quoi ? »

Z, ce n’est pas ce personnage de Pulp Fiction2 aux moeurs sexuelles sado-masochistes. Z, c’est l’ensemble des restes de la division par 2 des entiers relatifs. Donc c’est juste 0 et 1. 0 représente en fait tous les nombres pairs, et 1 tous les nombres impairs. On a alors 0+0 = 0, 1+0 = 1 et 1+1 = 0. Et oui, quand on ajoute deux nombres impairs, on obtient un nombre pair ! Alors (Z/2Z)4 c’est juste l’ensemble de tous les quadruplets possible de 0 et de 1, de (0, 0, 0, 0) à (1, 1, 1, 1) en passant par (1,0,1,0).

Ainsi, on ne révolutionnera donc pas les mathématiques avec la quatrième dimension mais comme d’habitude, la réponse à un problème soulève bien plus de questions qu’elle n’en clôt. Ainsi notre chère Stéphanie est partie sur les longs chemins de la géométrie en n-dimensions puisque rappelons-le, pour certaines infinies. Peut-être arrivera-t-elle bientôt à la topologie, aux espaces hilbertiens et à bien d’autres univers qui sont loin d’être plats.

En attendant d’arpenter ces chemins, elle me répondit alors :

« Oui mais, là, tu me parles de représentation d’éléments contenus dans les n-dimensions. Mais, nous les humains, on ne les voit pas ces autres dimensions, on ne les vit pas. La vraie révolution, ce serait de donner la possibilité aux Hommes de les voir, de les vivre en vrai. C’est comme si un jour, un élément venu de la quatrième dimension venait à nous, pour nous montrer son monde et ainsi révélé, nous pourrions le vivre à notre tour. Donc, il y a encore tout à faire… » 

Je lui racontais alors comment j’avais conceptualisé la sphère en quatre dimensions. Pendant un cours d’intégration en troisième année de licence avec l’excellent M. Candelpergher, où nous calculions le volume de cette fameuse sphère en quatre dimensions, je me dis qu’elle devait tout simplement être une sphère qui grandissait et rapetissait en temps constant. C’est d’ailleurs cette idée qui est développée dans Flatland quand le carré rencontre la sphère : il voit une ligne grandir et rapetisser devant lui avant de comprendre que cette ligne est un cercle. Puis, quand la sphère l’élève dans l’espace, il réalise alors ce qu’est la troisième dimension.

Nous attendons toujours que cette sphère en quatre dimensions se manifeste, peut-être nous emmenera-t-elle avec elle !

Alors bien sûr, je continue de me poser plein de questions à propos de toutes ces dimensions. Généralement, il est dit que la 4ème dimension est le temps. Nous pouvons nous déplacer dans l’espace mais pas dans le temps. Alors peut-être qu’il faut orienter son regard vers cette dimension du temps. Difficile de voir passer le temps si ce n’est sur nos horloges, mais encore plus difficile de pouvoir évoluer sur le fil du temps dans des allers-retours qui seraient parfaitement naturels.

Mais, j’ai encore eu une autre révélation… On parle de la 1ère, 2ème, 3ème, 4ème dimension… Comme si ces dimensions devaient se lire dans cet ordre. Mais qui me dit que les trois dimensions que je perçois en tant qu’humain ne sont pas la 20ème, la 3078ème et la 126947ème dimension ? Que mon système biologique fait en sorte que je ne puisse percevoir que trois dimensions spécifiques parmi les n-dimensions ? Que ces dimensions ne sont peut-être pas consécutives ? Pour revenir au temps comme quatrième dimension, je me demande si nous ne la percevons pas déjà. Si je reprends l’idée de Florian et de sa sphère qui grandit et rapetisse : nous naissons, nous grandissons, nous vieillissons, nous nous ratatinons, nous mourrons. Bref, on fait un cycle qui part de « rien » pour arriver à un « pic » qui redeviendra un « rien ».

Ensuite, si le carré de Flatland perçoit la sphère comme un cercle, cela veut dire que dans notre monde, nous percevrions la sphère 4D comme une sphère 3D qui apparaîtrait dans notre espace. On sait que notre espace est fait d’une infinité de plans. Je m’imaginais recevant la visite de cette sphère 4D et j’ai presque eu peur… Soudain, dans l’espace de ma chambre, surgirait une sphère de nulle part. Et très honnêtement, ma plus grande crainte était quelle puisse me toucher, m’écraser ! Ma crainte fut d’autant plus grande quand Florian m’expliqua que cette sphère pouvait se matérialiser dans mon corps puisque nous sommes des « volumes » en quelques sorte…

Et là, peut-être mon esprit est-il parti trop loin dans les tours de l’imagination. Lorsque je me surpris à imaginer cette sphère qui poussait en moi, je ne pus échapper à l’image du foetus grandissant dans le ventre de sa mère. Et d’un coup, je me mis à penser que c’était peut-être cela l’autre dimension… Que les dimensions fonctionnaient comme des poupées gigognes. C’est à-dire que chacun contiendrait une autre dimension, elle-même contenue dans une autre dimension et ainsi de suite. Alors évidemment, il est difficile parfois de discuter avec Florian et de se comprendre parce que j’use souvent de métaphores et que Florian en tant que bon mathématicien reste dans un discours des plus pragmatiques. Bien sûr que l’enfant dans le ventre de sa mère est en 3D, tout comme sa mère d’ailleurs. Il n’y pas une dimension en plus ou en moins ! Mais c’est par cette vision que j’ai pu comprendre que la dimension supérieure contenait l’ensemble des dimensions inférieures.

Par contre, je suis très déçue du choix sémantique. Si je vous écris n2, vous allez le lire « n au carré ». Si je vous écris n3, vous allez le lire « n au cube ». Mais pour n4 ? On se cantonne au classique « n puissance 4″ ? C’est très frustrant quelque part. Certains parlent d’hypercube… Mais ce n’est pas vraiment « vendeur » ! Mais en même temps, comment nommer les choses quand on ne les a jamais rencontrées ?

La seule chose dont nous sommes sûrs, c’est que la quatrième dimension contient une infinité d’espaces infinis en trois dimensions, comme notre espace contient une infinité de plans en deux dimensions ! Alors forcément notre espace est inclus dans cette quatrième dimension, mais cela ne nous donne malheuresement pas le pouvoir de la percevoir. Je comprends parfaitement la déception de Stéphanie. Par contre cette idée des poupées gigognes est vraiment très bonne. Je renvoie à mon exemple précédent de la Grande Arche de la Défense : l’hypercube en quatre dimensions contient bien le cube en trois dimensions.

En conclusion, nous ne sommes pas prêts de voir cette quatrième dimension, sauf grâce à cette magnifique série télé diffusée en France en 19843 alors que je n’étais pas encore né ou bien encore grâce à notre imagination. Pour cela, je vous renvoie vers le livre de Timothy Gowers, Petite initiation aux mathématiques, au chapitre 5.2 « Peut-on visualiser un espace à quatre dimensions ? » :

« Certains mathématiciens sont spécialisées dans la géométrie à quatre dimensions, et leur puissance de visualisation en quatre dimensions est extrêmement développée.
Cette questions psychologique a une importance mathématique qui va bien au-delà de la géométrie. Un des plaisirs qu’il y a à consacrer sa vie à la recherche en mathématiques est qu’au fur et à mesure que l’on accroît sa compétence, on trouve que l’on devient capable de « voir » les réponses à des questions de plus en plus nombreuses qui auraient pris des heures de réflexion difficile […] » (Gowers, 2011 : 71)

Crédit : photo des Nesting-dolls prise par Elizabeth Ruuska et hébergée sur Flickr, eruuska.

25 Janvier 2013

Aujourd’hui, j’ai découvert un site où l’on peut trouver : « links to lots of cool mathy things on the internet. » Ce site, c’est Math Munch ! Croyez-moi ou non, mais dans leur article « A Closet Full of Puzzles, Sphereland, and Math Doodles«  daté du 21 janvier 2013, ils consacrent un paragraphe à Flatland, le livre (disponible en ligne, en anglais) et le film mais aussi et surtout, à sa suite Flatland 2, sobrement intitulé Sphereland qui s’inspire de l’ouvrage de Dionys Burger publié en 1965. Et là, j’ai poussé un râle de victoire puisqu’il s’agit de la rencontre du 4ème type,4 comprenez celle avec cette fameuse hypersphère venue de la 4ème dimension.

Oh ! J’allais oublier de vous laisser une vidéo fan-tas-tique. Vous y découvrirez la manipulation d’un hypercube5 flexible : un peu de translation par-ci, un peu de symétrie par-là et le tour est joué.

4 Février 2013

Le 26 Janvier dernier, @tribegram6 a organisé un instawalk7 à la Défense : décidément, l’hypercube est à la mode ! Je vous propose de découvrir cette Grande Arche de la Défense sous tous ces angles grâce à quelques clichés.

 

Crédit : photos la Grande Arche de la Défense par @mydame et @cecile_and_co

  1. Un peu comme cette ampoule qui s’illumine au-dessus d’Archimède dans des dessins humouristiques lorsqu’il s’exclame, alors que la lumière révélatrice vient à lui : « Eurêka ! ». []
  2. Célèbre film de Quentin Tarantino sorti en 1994. []
  3. Le titre original est The Twilight Zone, série créée par Rod Serling. []
  4. En référence à ce superbe film de science-fiction, « La rencontre du 3ème type » (titre original « Close encounters of the third kind ») réalisé par Steven Spielberg en 1977. []
  5. Comme la fameuse Grand Arche de la Défense à laquelle Florian faisait souvent référence dans cet article. []
  6. Compte instagram créé à l’initiative de @mydame, une utilisatrice de cette apps photo pour téléphone portable. []
  7. Une balade dans un quartier particulier. []

Le Black Metal à l’assaut des Mathématiques

Le 9 janvier 2012, Florian Caullery, le mathématicien était invité à la Villa Réflexive (connue aussi sous le nom d’Espaces Réflexifs). Il nous a parlé de la place de la musique dans son travail de recherche. Si vous voulez découvrir en quoi le Black Metal peut être véritablement stimulant dans le travail d’un chercheur, n’hésitez pas à lire son article.

« Le Black Metal intervient aussi à un autre moment qui n’est pas nécessairement en rapport avec mon travail de recherche. J’en écoute aussi juste pour le plaisir qu’il me procure. Il arrive au cours de cette écoute oisive que mon esprit s’échappe et part voguer loin, quelque part dans les fjords norvégiens. Il en revient parfois avec des solutions pour mes problèmes en cours. Il faut comprendre ici que je ne peux chercher activement consciemment cette solution en écoutant ma musique, mais que parfois passivement elle m’aide à faire venir les idées que je note au plus vite. »

Bonne lecture !

6 Février 2013

Nous voulions remercier Fier Panda pour avoir relayé le billet « Le Black Metal à l’assaut des Mathématiques » sur son site, le 9 Janvier dernier.

Les comptes de la crypte

Légende d’un dialogue
L’anthropologue parle/écrit en noir (Stéphanie Messal)
Le mathématicien parle/écrit en gris (Florian Caullery)

Ambiance sonore

Conseils préalables pour fouiller une crypte

A l’occasion de la conférence YACC 20121 qui se déroulait du 24 au 28 septembre sur les îles de Porquerolles, Florian le mathématicien était convié à exposer son travail de recherche en cours : « A new step toward the classification of APN functions »2.

Pour se faire, il a réalisé un Beamer qui est ce qu’on pourrait définir comme l’équivalent d’un PowerPoint mais pour les mathématiques. A la veille de son départ, Florian se décide (enfin) à m’offrir la primeur de son discours. Je relève plusieurs incohérences de présentation : un manque de linéarité, plusieurs allers et retours consécutifs entre les slides qui parasitent au final grandement la compréhension d’un propos qui me semble déjà suffisamment incompréhensible comme ça ! N’étant pas une mathématicienne, je me suis surtout concentrée sur sa présentation, tant dans son propos oral que dans son illustration visuelle. Nous avons donc décidé de reprendre point par point les quelques incohérences du discours pour le rendre plus fluide et plus agréable à entendre et à voir.

Au départ, je voulais surtout me focaliser sur le contenant : la mise en page d’un Beamer (tout comme d’un PowerPoint) est importante si on veut le rendre attrayant et pertinant. Il ne doit pas être le discours oral retranscrit dans son intégralité mais un élément visuel qui reprend les points forts, les notions clés, les définitions spécifiques et bien sûr la structure du discours point par point. Choisir la couleur et recadrer les éléments visuels tels que tableaux, puces, titres fut facile mais réorganiser le contenu prit des proportions inattendues. Comment choisir les mots et phrases clés à conserver sans saisir le sens du propos ? Pour Florian, tout était évident et écrit tel qu’il l’exposait. Mais quand il a fallu déterminer quelles notions devaient rester, comment mettre en lumière un terme plus qu’un autre, nous venions alors de rencontrer une difficulté majeure : comment se comprendre sur nos attentes alors que nous n’utilisions pas le même langage bien que nous communiquions dans une même langue ? Nous parlons tous les deux le français et l’anglais, et la structure des phrases est aisée à saisir pour l’un comme pour l’autre mais… de quoi parle-t-il ? Dès que des termes propres aux mathématiques apparaissaient à l’écran et encore pire quelques savantes formules, ma capacité à comprendre le fondement du propos s’évaporait. C’est tout un pan de vocabulaire spécifique aux mathématiques qui me manquait, néophyte que je suis. Très vite, je me suis retrouvée « larguée », voguant sur des flots de calculs et formules, submergée par un tsunami de questions qui ne trouvaient pas de réponses. Mais ça veut dire quoi ? Ça signifie quoi ? Et cette lettre, c’est un A comme /a/ ? Quelle est l’utilité de ses formules ? A quoi ça sert ?

Florian qui encadre les TD de mathématiques à l’université de Marseille Saint Charles et Luminy depuis maintenant trois ans3, a réagi en bon pédagogue. Il a pris le temps de m’expliquer le contenu de ce beamer dans notre langage commun : le français de tous les jours ! Toutes ces formules obscures me paraissaient certes plus claires mais malgré tout, je restais dans le brouillard. Un de ces brouillards rasants que l’on retrouve souvent dans ces cimetières de vieux films d’épouvante en noir et blanc…

C’est quoi une fonction APN, un polynôme et une fonction puissance ?

Soit mN et f une fonction booléenne vectorielle de F2mF2m. On dit que f est presque parfaitement non-linéaire (ou Almost Perfectly Nonlinear en anglais, ou APN) si ∀a,bF2m,a≠0, l’équation f(x + a) + f(x) = a au plus 2 solutions dans F2m.

En clair et en simplifié, f est un règle pour transformer une suite de 0 et de 1 en une autre suite de 0 et de 1 qui a une certaine propriété.

Chaque fonction booléenne vectorielle de F2mF2admet une représentation unique en un polynôme d’une seule variable à coefficients dans F2m.

En clair et en simplifié, on peut écrire f sous la forme d’une somme de puissances de x.
Par exemple f(x) = x7 + x4 + x2 + x + 1

Les premières fonctions APN que l’ont a trouvé étaient des fonctions dites « puissance », c’est à dire qu’elles ne sont constitués que d’une seule puissance de x.
Par exemple : f(x) = x5

C’est quoi la différence entre une fonction APN et une fonction puissance ?

Ce n’est pas la bonne question. Parce qu’une fonction peut très bien être l’une ou l’autre, ou ni l’autre ni l’autre, ou les deux.

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Fouiller la crypte

« Les premières cryptes (aussi appelées anciennement crutes, croutes ou grottes) ou grottes sacrées ont été taillées dans le roc ou maçonnées sous le sol, pour cacher aux yeux des profanes les tombeaux des martyrs ; plus tard, au-dessus de ces hypogées vénérées par les premiers chrétiens, on éleva des chapelles et de vastes églises ; puis on établit des cryptes sous les édifices destinés au culte pour y renfermer les corps des saints recueillis par la piété des fidèles. »
Wikipedia

 

Florian réalise alors un schéma qui m’éclaire un peu plus. Mais malgré cela, tous ces termes étant beaucoup trop abstraits à mon goûts, je déterminais alors la fonction APN comme étant un crâne ! Partons d’un tas d’ossements où l’on cherche les os « crâne ». Le tas d’ossements représente les fonctions puissance et les crânes sont non seulement des fonctions puissance puisqu’elles font partie du tas d’ossements mais en plus elles sont fonction APN. Dans tout le tas d’ossements, au final, il n’a été possible de trouver que deux crânes : un représente les fonctions Gold et l’autre les fonctions Kasami. Pour caricaturer, on a trouvé deux types de crânes, par exemple de femme et d’homme. C’est ainsi que nous nous sommes retrouvés à chercher un certain type de crâne, Gold et Kasami, dans un plus gros tas d’ossements, une crypte, où se trouve le premier tas d’ossements que nous avions considéré. Cette crypte était l’ensemble des polynômes. Et au milieu de ces ossements, se cachaient des crânes fonctions APN parce que des crânes fonctions APN, il n’y en a vraiment pas des masses par rapport à toutes les fonctions qui existent.

Il faut bien comprendre ici que les fonctions puissance sont des polynômes particuliers. Aussi, les ossements du premier tas sont des os particuliers de la crypte, ils constituent un sous-ensemble des os de la crypte entière. Tout le sujet de ma thèse est de savoir s’il existe ou non d’autres types de crânes dans cette crypte. Pour l’instant, tous ceux qui ont travaillé sur le sujet et moi-même n’avons pas pu fouiller toute la crypte même si nous l’avons déjà bien déblayée. Je m’occupe maintenant des recoins sombres5. Comme nous n’avons toujours trouvé que des crânes d’hommes et de femmes, nous avons émis la conjecture suivante : « dans notre crypte, il n’y a que des crânes d’hommes et de femmes ».

Mais, si on trouve un crâne de chien ? C’est possible, non ? Imagine qu’une petite mamie ait voulu être enterrée avec son petit chien.

Et bien, si l’on découvre un crâne de chien (fusse-t-il mâle ou femelle) cela voudra juste dire que la conjecture était fausse, et si c’est moi qui le trouve je deviens célèbre dans le monde des mathématiques.

Avant de formuler sa réponse de la sorte, Florian répondait : « On ne sait pas si on va trouver un crâne de chien ! » « Mais comment ça on ne sait pas ? » « Non, on ne sait pas. » « Mais enfin si tu trouves un crâne de chien tu es bien capable de me dire ce qu’il va advenir ensuite, non ? » « On ne sait pas. » Je suppose qu’en mathématiques on n’envisage rien à l’avance mais tout de même ! Et il a fallu que je m’obstine pour obtenir une réponse qui me convienne mieux mais qui après tout ne convient peut-être en rien au monde des mathématiques.

Message crypté

Que penser de cette histoire de fouille approfondie, de ces moments passés à discuter et à réfléchir, à creuser et à déblayer comme des apprentis archéologues ?

  • D’abord, que nous n’avons certainement pas choisi d’aller fouiller dans une crypte par hasard. Florian travaillant la cryptographie, c’est donc très naturellement que mon instinct a choisi comme image de comparaison des ossements et des crânes à aller dénicher dans le fin fond d’une crypte. Ce n’est que le lendemain, sous la douche6 que j’ai réalisé que ce choix inconscient était fait en toute conscience par mon moi intérieur.
  • Ensuite, qu’une crypte est le lieu caché par excellence en son sens même. Du latin crypta et du grec ancien κρύπτη, krýptê, de κρύπτω kríptô (« cacher »). Alors cacher quelque chose dans une crypte rend la chose encore plus difficilement trouvable car pour cela, il faudrait d’abord réussir à trouver le lieu où se terre la crypte en question (c’est-à-dire en avoir ses coordonnées géographiques) pour pouvoir ensuite dénicher l’objet caché. Et pour peu que l’on n’en est donné aucune description comment alors savoir que l’objet trouvé fut l’objet caché ?
  • Enfin, que toutes ces histoires de langage crypté sont séduisantes pour l’idée fabuleuse d’en révéler le secret. C’est comme une grande chasse au trésor ! C’est à celui qui trouvera l’objet caché en premier. C’est à celui qui saura trouver ce qui se cache dans la crypte : mensonge ou vérité qu’importe. Quels secrets s’y cachent et rient à notre barbe ? Mais le charme du sens caché ne réside-t-il pas dans le mystère de sa compréhension ? En trouver le sens n’est-il pas le risque d’en dissoudre l’enchantement et avec d’en voir s’échapper toute la magie ? Quant à le révéler au grand jour, à qui revient la responsabilité d’une telle décision ? On se souvient de ce qui s’échappa de la boîte (jarre) qu’ouvrit Pandore… Et l’on se rappelle du terrible secret qui se cachait derrière la porte que la Barbe Bleue ne voulait que l’on n’ouvre… Certains secrets ne devraient-ils pas rester cachés à tout jamais ?

Aujourd’hui, les fonctions APN restent encore un mystère à mes yeux parce que je n’en comprends toujours pas vraiment le sens mathématique, et pour Florian, le seul mystère qui subsiste encore à ses yeux est de savoir où sont les fonctions APN car elles ne sont vraiment pas nombreuses et absolument pas triviales. C’est à ce titre qu’on peut les imaginer dans un jeu de cache-cache régi par un désordre assimilable à ce tas d’ossements éparses où l’on ne saurait dire combien de crânes s’y trouvent, enfouis sous l’amalgame des os, masse confuse.

Dans le fond, je crois que j’aime beaucoup les mathématiques pour tout ce qu’elles réveillent en moi, cette curiosité de l’enfant qui cherche inlassablement jusqu’à trouver. Jamais il ne se fatigue. Il a « […] la rigueur du regard d’indien qui chez les antiquaires, les chercheurs et les fous de livres ne continue à brûler que trouble et maniaque. » (Walter Benjamin) J’ai retrouvé le goût de la quête, de ce mystère qui m’échappe alors que je le frôle du bout des doigts, que je suis si proche de la solution et qu’il s’enfuit encore, repoussant encore plus loin les limites de ma recherche. Est-ce que les mathématiciens seraient des archéologues masqués, sortes d’Indiana Jones secrets ?

  1. Yet Another Conference on Cryptography []
  2. Résumé que vous retrouvez sur le site des Journées Codage et Cryptographie 2012 qui se sont déroulées à Dinard du 7 au 12 Octobre et où le mathématicien a aussi eu l’occasion de présenter son travail. []
  3. L1 Physique-Chimie les deux premières années et Maths-Info cette année. []
  4. Ceci est le silence de ma grande confusion intérieure. []
  5. Tellement sombres que des fois ça fait peur ! []
  6. Haut lieu de réflexion comme expliqué dans un précédent article. []

Les mathématiques… un vocabulaire évocateur ?

Le 25 Octobre 2012, Valerio Vassallo a publié sur Images des Maths, un article qui a attiré toute mon attention. Il jouait avec le vocabulaire des mathématiciens pour en faire un contenu des plus évocateurs, proche d’une certaine poésie. Je vous laisse à votre tour déguster « Le goût caché des mots mathématiques ».

« Le mathématicien vit parfois dangereusement. Heureusement qu’il est gagné par le sens de la mesure. Il faut dire qu’il a des valeurs qui, parfois, deviennent absolues, ce qui l’amène à s’intéresser aux éléments entiers. En tout cas, sachez, ses valeurs sont souvent propres ! »

Valerio Vassallo, « Le goût caché des mots mathématiques » — Images des Mathématiques, CNRS, 2012.

Evidemment, je ne pouvais en rester là car cet article faisait écho au projet « Presque Partout« . Je laissais donc un commentaire auquel j’eu la surprise de recevoir ce mail en réponse.

Bonjour.

Tout d’abord merci pour votre commentaire.  Désolé mais étant en déplacement je n’ai pas pu me manifester avant.
J’ai bien pris note de votre site où je suis allé pour m’informer.
Je le trouve intéressant et il (re)propose l’eternelle question de : comment communiquer les mathématiques aux profanes ?
Mon autre billet sur le sens de la multiplication dans les entiers relatifs (http://images.math.cnrs.fr/Quel-est-le-sens-de-3-dans-la.html) montre à sa façon que les difficultés commencent très tôt !

Cordialement,

Valerio Vassallo

Le 5 Novembre 2012

Je venais à l’instant même de lire ce nouvel article : « Quel est le sens de (-3) dans la multiplication (-3)(-2) ? ». Un article qui me parlait particulièrement, moi-même étant restée perplexe devant ces chiffres négatifs, devenant par la magie de la multiplication un résultat positif. Je ne comprenais pas vraiment et je me rappelle encore combien mon père s’est démené pour me faire comprendre cela. Pour moi à l’époque, s’il y avait du (+), alors on obtenait du (+) et s’il y avait du (-), alors on obtenait du (-). Pourquoi changer ? Du (+), c’est du (+) et donc du (-), c’est du (-) ! Et je comprenais encore moins pourquoi le (-) l’emportait sur le (+) par le (-) ! Tout cela me semblait si peu logique. Dans un vague souvenir et après avoir revu le schéma proposé par Valerio Vassallo, il me semble me rappeler que mon père avait procédé de la même façon, avec un repère. C’est là que j’eus le déclic et avec les mathématiques, ce fut bien souvent une histoire de déclic !

(image issue de : Valerio Vassallo« Quel est le sens de (-3) dans la multiplication (-3)(-2) ? » — Images des Mathématiques, CNRS, 2012.)

Il n’y a pas équivalence !

Samedi 22 septembre au soir, j’avais été conviée par Florian au pot de départ de J. Elle quittait leur laboratoire et des adieux de circonstances s’imposaient avec tous les doctorants de l’IML1, tout du moins celles et ceux2 qui avaient répondu présent. Boissons, pâtés, fromages, pains et gâteaux en tout genre étaient au rendez-vous. Tout le monde arrivait tour-à-tour : ne manquait plus que J.

En l’attendant, les conversations allaient bon train. C’est alors que S. nous demanda si elle pouvait demander à un ami (extérieur à l’IML) de nous rejoindre. Les doctorants présents lui répondirent qu’elle pouvait faire comme bon lui semblait. Ce à quoi S. répondit : « C’est quelqu’un de super, vous verrez. Il est sympa : il boit !«  Cette phrase aurait pu être sans conséquence aucune si je n’avais décidé de lui répondre ceci : « Tu sous-entends par là que les gens qui ne boivent pas ne sont pas sympas ? » Et tous en coeur, les mathématiciens s’exclamèrent : « Mais non, il n’y pas équivalence !!! » Imaginez ma tête de non-initiée au discours mathématiques. Je ne comprenais pas pourquoi on me répondait cela et mon air ahuri les amusait beaucoup.

Raisonner comme un mathématicien

Avant de commencer, voici la signification des deux symboles mathématiques qui seront utilisés dans ce paragraphe :

=> implique

<=> équivaut

¬ non

Reprenons l’expression de S. « Il est sympa : il boit ! » et posons :

A : il boit

B : il est sympa

On aurait pu les nommer tout autrement (X ou Y). Et on aurait tout aussi bien pu poser l’inverse, les éléments n’ayant aucune hiérarchie entre eux.

Dans son langage, le mathématicien écrirait :

A => B

et non pas A<=>B

et encore moins B =>A

La seule chose qu’un mathématicien peut déduire de cette phrase c’est que :

 il n’est pas sympa => il ne boit pas, parce que ¬B => ¬A. (C’est ce qu’on appelle la proposition contraposée.)

Mais on ne peut pas en déduire :

il ne boit pas => il n’est pas sympa c’est-à-dire ¬A => ¬B.

On ne peut pas dire que tous les gens qui sont sympas boivent.

Nous avons débattu deux matinées complètes autour de cette phrase. Nous avons griffonné une page complète de A et de B. Mais le discours du mathématicien est celui de la logique abstraite qui prend en compte la phrase au mot le mot, uniquement ce qui est dit en faisant fi des sous-entendus et des émotions.

 

Observer comme un anthropologue

L’anthropologue lui est à l’affut de ces émotions qui vont guider son regard  et orienter ses réflexions sur les rapports qu’entretiennent les différents protagonistes d’une situation entre eux. Alors que le mathématicien sort cette phrase de son contexte, l’anthropologue l’y plonge littéralement. Impossible de faire fi du terrain !

Quelle était la situation ?

Six personnes étaient présentes dans la salle : Florian, V., M., H., T., S. et moi. Tous étaient des mathématiciens sauf moi, qui suis anthropologue. Sur la table étaient disposés un cageot de nourriture ainsi que des sodas, des jus de fruits et des boissons alcoolisées en quantité. S. dans son attitude et ses propos (mais aussi par les traces d’un vécu) affirmait son penchant à la fête et à trinquer joyeusement. Comprenez qu’une bonne soirée est une soirée où l’on finit de façon joyeuse. Elle propose donc d’inviter un ami que nul ne connait et je pense que ma présence lui a d’autant plus offert cette opportunité car moi-même étant une personne rapportée à toute cette équipe. C’est à ce moment qu’elle prononce la fameuse phrase : « Il est sympa : il boit ! » Ici, le regard, le ton et le sourire avaient toute leur importance : un regard de connivence envers ses camarades, un ton amusé et un rire grivois, laissant clairement sous-entendre qu’une soirée où on ne boit pas n’est pas vraiment une soirée et qu’en général une personne qui ne trinque pas est rarement à la fête, pour ne pas dire qu’elle pourrait en gâcher l’ambiance. Ceci me fut confirmé plus tard quand la fête battait son plein. En tant qu’anthropologue, j’aurais pu laisser dire et regarder la scène suivre son cours. Mais nous n’étions pas ici en tant que mathématicien ou anthropologue, nous étions ici pour J. et son pot de départ.

C’est pour cela que de façon un peu taquine, il faut bien l’avouer, je me permis alors de relever ce que S. avait sous-entendu. Une façon de venir la titiller mais aussi une façon de laisser le dialogue s’ouvrir et pourquoi pas de trinquer. Je ne m’attendais pas à ce que les mathématiciens reprennent alors leur place par leur discours scientifique ! C’était d’autant plus étrange, que je venais à cet instant précis de laisser tomber le manteau de l’anthropologue pour n’être qu’à la fête et vivre pleinement cet instant. « C’est la déformation professionnelle ! » comme on dit. Il est vrai qu’on est fait aussi de cela. On ne peut pas renier ce que l’on a appris, ce que l’on sait et encore moins notre connaissance d’un certain savoir d’autant plus quand il est mis en pratique au quotidien. Et ainsi, la pratique du quotidien en devient une pratique scientifique où tout devient propice à la réflexion que l’on soit anthropologue ou mathématicien.

S’entendre au quotidien

ou l’homophonie, art de se faire des idées

Au cours des deux jours passés à discuter de ces histoires d’équivalence, le mot « contraposée » a été plusieurs fois lancé par Florian, le mathématicien. Il n’utilise pas l’expression complète « proposition contraposée » mais uniquement « contraposée » tel qu’il l’a toujours entendu. Et pendant ces deux jours, mon esprit d’anthropologue mais surtout dans ce cas précis de littéraire, visualisait ce mot de deux sortes : « contrat posé » et « contre-apposé » dont je vous livre ici mes deux définitions potentielles.

  • Contrat posé : le contrat qui est posé pour réaliser la déduction de l’équivalence ou de la non-équivalence.
  • Contre-apposé : posé contre, vraiment tout contre. Ce qui par rapport à la situation me laissait penser que ces implications se transformaient en équivalence quand elles étaient vraiment posées contre, tout à côté.

Mais à moment donné, j’ai réalisé que ce mot était féminin : LA contraposée ! C’est dans la salle de bain3 que j’en pris conscience. Je demandais alors à Florian de m’épeler ce mot. Et quelle ne fut pas ma surprise qu’il s’écrivait de la sorte : en un seul mot. Bien sûr, cela changea considérablement la donne sur ma façon de percevoir cette histoire et nos échanges. Mais je n’étais pas si loin de la véritable définition à propos de la contraposition4.

  • Contraposition : Raisonnement logique consistant à affirmer une implication (« si A alors B ») et à poser ensuite la négation du conséquent (« ou, non B ») pour en déduire la négation de l’antécédent (« donc non A »).
    Etymologie : du latin contra- (préfixe qui exprime une opposition, variante de contre-) et du latin positio, de ponere (« placer, poser »).

Son étymologie me rapproche de ma première idée. Question de déduction grâce à mes cours de latin au lycée, je suppose.

Je découvre au jour le jour l’univers des mathématiciens. C’est une façon de percevoir le monde et de le penser différemment mais elle n’est pas si lointaine de l’activité anthropologique : une pratique scientifique au/du quotidien.

A suivre…

  1. Institut de Mathématiques de Luminy []
  2. Je remercie Niels Bohr d’avoir soulevé cette faute. []
  3. Haut lieu de réflexion ! []
  4. Définition donnée sur wiktionnaire – http://fr.wiktionary.org/wiki/contraposition []

Presque partout

Le discours de l’anthropologue face au discours du mathématicien.
La rencontre de deux domaines scientifiques aux discours radicalement différents.
Un discours commun est-il possible ? Comment communiquer ? Quelle solutions existent ?
Métaphore, abstraction, contexte, ton, expression, comparaison, émotion, rationalité sont au rendez-vous de ce lieu de réflexion, lieu de rencontre entre SHS et Sciences Exactes.
Cette rencontre donnera lieu à une étude empirique de plusieurs situations inattendues et surprenantes.