2, ce premier des premiers

 Légende : Florian en noir – Stéphanie en grisJ. en rouge

Cher carnet,

Aujourd’hui encore, j’ai dû briser les rêves de révolutions mathématiques de Stéphanie.

Après avoir dévoré Flatland, Stéphanie s’est lancée dans la lecture de Cinq minutes de mathématiques de Ehrhard Behrends, un recueil d’articles mathématiques d’un journal allemand. Ce livre de vulgarisation particulièrement bien fait, aborde des notions de base et certaines bien plus évoluées. Je vous en conseille vivement la lecture pour peu que vous vouliez vous mettre aux maths !

Il faut préciser ici que ce livre a été fièrement gagné lors d’un concours organisé par le CIRM par votre serviteur et ses amis doctorants M. et J. Il a fallu déployer tout notre savoir faire ((On a résolu des systèmes à trois équations et trois inconnus sans MAPPLE (un logiciel de calcul formel). Et on a utilisé une cryptanalyse fréquentielle. Soyons fous !)), courir, crier, s’agiter dans la bibliothèque pour venir à bout de notre énigme avant la hordesde lycéens1 lancée dans cette chasse aux trésor. Victoire les amis ! Malgré le fait que le diplôme accréditant notre succès nous ait été refusé, nous avons réussi à ramener un exemplaire du livre en question.

Stéphanie en lectrice assidue tombe sur le problème des grands nombres premiers.2 Dans ce problème, on choisit deux grands nombres premiers p et q, on les ajoute entre eux p+q=k, et on nous dit que forcément k est pair.

Mais pourquoi diable est-il pair ?
Et bien parce que est la somme de deux nombres impairs.
Ah parce qu’un nombre premier est forcément impair ?
Ils sont tous impairs sauf le chiffre 2. Et en plus c’est le premier nombre premier.
Oh mon dieu mais… c’est génial ! Pourquoi c’est le seul nombre premier pair ? Le pauvre, il est tout seul. En même temps, tu te rends compte qu’en plus d’être le seul nombre premier pair, c’est le tout premier des nombres premiers !  Et pourquoi personne n’a écrit là-dessus ?
Peut-être parce que c’est très basique comme question. Si un nombre est pair et différent de 2, il est au moins divisible par 1, 2 et lui même, donc  il contredit la définition d’un nombre premier.
Mais pourquoi lui ?

Là, je reste perplexe :

Mais je viens de te l’expliquer…

Je passe les redites et autres ré-explications qui ont abouti à cette sentence fatidique :

Je suis déçue… Tu vas appeler ton ami J. : il est beaucoup plus pédagogue que toi !

Après une longue série d’appels téléphoniques, nous parvenons à joindre J. et à obtenir de sa part quelques explications.

En fait, c’est une histoire de sémantique. On a juste donné un nom au fait d’être un multiple de 2, comme on aurait pu en donner un au fait d’être un multiple de 3.

Cette explication parvint à convaincre Stéphanie mais elle fut terriblement déçue.3 J. le comprit assez rapidement et lui donna en exemple quelques propriétés assez sympathiques du chiffre 2.

Les quelques propriétés sympathiques de 24

  • Tout nombre entier peut s’exprimer comme somme de puissances de 2 distinctes. C’est à dire que je peux écrire n’importe quel nombre entier (0, 1, 2, 3, etc.) comme (0 ou 1) x 20 + (0 ou 1) x 21 + (0 ou 1) x 22 et ainsi de suite.
    Par exemple 5 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20.
    Ainsi, 5 se traduirait en binaire par 1012.5
    Écrire les nombres de cette façon, c’est les écrire en base 2. C’est grâce à cette propriété que 2 joue un rôle très important en informatique. Nous ne sommes pas habitués à écrire les nombres comme cela car nous utilisons dans la vie de tous les jours non pas la base 2 mais la base 10. En effet, chaque nombre se décompose en unité, dizaine, centaine, etc. Dans le tableau de représentation binaire des chiffres ci-joint, nos unités de mesure sont de gauche à droite 23, 22, 21 et 20, ce qui reviendrait dans notre base 10 à écrire, les milliers, les centaines, les dizaines et les unités. Aussi on voit que, en base 2, 5 s’écrit 0101 mais on lit 101. Tout comme, si en base 10 j’avais par exemple 0399, je ne lirais pas le 0 des milliers ((Parce que des 0, on pourrait en mettre une infinité.)) et je passerais directement à la centaine, en lisant 399. Heureusement que cette propriété existe sinon sans elle, pas d’ordinateur.6
  • 1 + 2 + 4 + 8 + … +2n = 2n+1-1 ou la fameuse histoire des grains de riz sur l’échiquier.

La légende du brahmane Sissa, ministre du roi Chêch-Rama. L’homme qui imagina les échecs.

Grains of rice on the chess board
Audrey Penven aka y3rdua sur flickr

Lorsque le brahmane exposa sa découverte au souverain, celui-ci , transporté de joie, lui donna à choisir la récompense qui lui paraissait la plus convenable. Sissa demande qu’il lui fut remis un grain de blé7 pour la première case de l’échiquier, deux grains pour la seconde, quatre pour la troisième, et ainsi de suite en doublant le nombre de grains de blé à chacune des 64 cases de l’échiquier. Le roi ne put s’empêcher de rire de cette demande : mais lorsque le calcul fut fait, il se trouva que tous les greniers du royaume, ceux même de l’Asie, que dis-je ? du monde entier, n’auraient pu suffire à fournir la quantité de blé qui était due au brahmane.
En effet, savez-vous à quel chiffre s’élevait le nombre de grains de blé produit par les 64 casiers de l’échiquier ? A

18 446 744 073 709 551 615

c’est-à-dire, de quoi former une couche de 10 mètres d’épaisseur sur une surface de 5750 kilomètres carrés, égale à 82 fois la superficie de Paris.
– Je vous disais bien, interrompit le docteur, que le jeu d’échecs avait été fait pour les mathématiciens ; l’inventeur me fait l’effet d’avoir été diantrement fort en multiplication, car, si je ne me trompe, le nombre que vous venez de nous citer représente 18 milliards de milliards. C’est vertigineux !

Vincent PIERRE, 1882. A bâtons rompus, causeries scientifiques. Paris, Hachette. (36-38)

Pour l’anecdote, il est dit en fin de certaines légendes que le roi ne pouvant répondre à la requête du brahmane lui fit trancher la tête…
En attendant et pour revenir à notre propriété, ce nombre gigantesque de grains de blé est égal à 265 – 1.

  • 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = Σn>01/2n  = 1. Cette série est liée au paradoxe de Zénon. En effet, imaginons que l’on souhaite aller d’un point A à un point B. On parcourt d’abord la moitié de la distance AB, puis on parcourt la moitié de la distance restante, etc. On se dit alors que nous n’arriverons jamais au point B. Mais c’est oublier le fait que nous mettrons 2 fois moins de temps à parcourir une distance 2 fois plus courte. Le résultat présenté nous assure donc que nous arriverons un jour.
    Étayons le propos avec un archer. Il tire une flèche en direction de sa cible. La flèche va parcourir la moitié de la distance (1/2). Ensuite, elle va parcourir la moitié de la distance restante (1/4). De là, elle va encore parcourir la moitié de la distance restante (1/8), etc. Donc la distance qui lui reste à parcourir est divisée par 2 à chaque étape ce qui fait… qu’elle n’arrivera jamais car la distance restante ne sera jamais égale à 0. Mais là aussi, c’est faire fi du facteur temps.
    Quelque chose me dit que l’archer n’était pas très doué en matière de tir à l’arc et qu’il ratait bien souvent la cible. Alors ce paradoxe était une excuse merveilleusement trouvée pour lui. Ainsi il pouvait justifier le fait que sa flèche n’atteignait jamais la cible.

La thèse en caractéristique 2

En mathématiques

2 joue aussi un rôle très important dans ma thèse. En effet, celle-ci est très reliée à l’informatique aussi je travaille en binaire, c’est-à-dire que je ne m’autorise pas d’autres nombres que 0 ou 1. En mathématiques, on dit qu’on se place en caractéristique 2. Cela veut dire que je ne peux avoir, au plus, qu’un seul exemplaire d’un même objet mathématique. Dès que j’en ai deux, je ne veux plus les voir et je les fais disparaitre ! (Quel magicien !) En particulier 1 + 1 = 0 et faire une soustraction revient à faire une addition. Je n’ai donc pas à m’encombrer du signe – : cela m’évite bien des erreurs. Je peux aussi obtenir de très belles relations mathématiques que tous mes collègues jalousent.8  Pour pousser un petit peu plus loin : si j’additionne trois fois le même objet, j’obtiens… le même objet ! En particulier, 1 + 1 + 1 = 0 + 1 = 1.

Et si j’additionne quatre fois le même objet, j’obtiens de nouveau 0 et ainsi de suite. En fait, dès que j’ai un nombre pair de mêmes objets, je les jette.
Où ça ? A la poubelle ?

Mais non. Juste dans les oubliettes des mathématiques prévues à cet effet. En mathématiques, quelque chose dont on ne se soucie plus, disparaît purement et simplement. Aucun risque de pollution ! C’est comme s’il n’avait jamais existé. Pour revenir à ma caractéristique 2, si j’ai un nombre impair d’objets, je n’en garde qu’un seul.
Et pourquoi pas tous ?
Parce qu’un nombre impair, c’est un nombre pair + 1. Donc, c’est 0 + 1. Donc, c’est 1 : il n’y en a donc qu’un seul. L’évidence même !

Il est tout à fait possible d’imaginer ce même raisonnement avec un autre nombre que 2, mais si l’on veut conserver certaines propriétés mathématiques essentielles, nous sommes obligés de le choisir parmi les nombres premiers. On pourrait prendre 3 comme caractéristique, par exemple. J’aurais alors 1 + 1 + 1 = 0.

Il est aussi sympathique de voir que des tas de théorèmes très compliqués sont valables pour toutes les caractéristiques sauf 2.9 Nous sommes alors obligé de traiter le cas de 2 à part. Je ne me lancerai pas ici dans l’exposé de ces théorèmes fort compliqués mais sachez que cela rend notre petit nombre encore plus intéressant.

Grâce à cette caractéristique, j’ai pu fièrement énoncer à Stéphanie ce fameux théorème : « Pour moi, 2 c’est nul ! »

En anthropologie

2, c’est peut-être nul, mais je continue de me poser beaucoup de questions à son sujet. Et comme une partie de ma thèse traite notamment du don,10 je ne peux m’empêcher de faire ce parallèle : comment donner si l’on est seul ? On ne peut donner que si l’on est deux, il me semble. A moins d’être à ce point foncièrement narcissique et de s’aimer au point de se donner à soi-même. Mais oublions ce cas particulier un instant et revenons à ce don qui nécessite deux personnes : un donateur et un donataire.

Dans ma thèse, 1 personne + 1 personne = 2 personnes. Mais, 1 personne + 1 personne = 0, 1, 2 ou x dons selon que chacun des protagonistes de la situation donne ou pas. Et s’il donne, la quantité du don dépendra de sa générosité. Mais faisons simple et réduisons le don à sa plus simple expression : le geste, l’acte en lui-même. Aussi, on obtiendra comme résultats possibles entre deux personnes :

  • 0 si personne ne donne rien,
  • 1 si une seule des deux personnes donne à l’autre,
  • ou 2 si les deux personnes se donnent mutuellement quelque chose. 

Dans le dernier cas, le chiffre 2 signifie alors un forme particulière du don : il représente un véritable échange, une transaction où au final chacun se retrouve avec un objet. On pourrait dire que chacun revient à son état d’origine. La personne A était venue avec son objet a et la personne B était venue avec son objet b. On avait donc Aa et Bb. Une fois l’échange accompli, on obtient Ab et Ba. Et si l’on fait fi de la valeur du don comme nous l’avons déterminé précédemment et que seul compte le geste, l’acte de donner, alors Ab = Aa et Ba = Bb. Personne n’est lésé : c’est un échange équivalent. Si on implique la notion de valeur à l’objet donné alors chacune des deux parties trouvera un arrangement dans cet échange de façon à ce que chacun reparte en ayant la sensation d’avoir fait une bonne affaire. Mais un échange n’a jamais rien de simple et Michel Foucault ne manque pas de nous le rappeler11 :

« On échange dans le troc que si chacun des deux partenaires reconnaît une valeur à ce que détient l’autre. En un sens, il faut donc que ces choses échangeables, avec leur valeur propre, existent à l’avance entre les mains de chacun pour que la double cession et la double acquisition se produisent enfin. » (p.203)

Une chose est sûre, pour qu’il y est échange, que ce soit une transaction, une conversation, une relation ou tout autre, il faut être au moins deux. On a besoin de cet autre en tant qu’autre, pour pouvoir être soi. Ces relations d’échange peuvent être conflictuelles ou équilibrées, remplies d’amour ou de haine. Maurice Godelier12 l’écrit bien, le don contient un double rapport :

« Deux mouvements opposés sont donc contenus dans un seul et même acte. Le don rapproche les protagonistes parce qu’il est partage et les éloigne socialement parce qu’il fait de l’un l’obligé de l’autre. […] Le don est, dans son essence même, une pratique ambivalente qui unit ou peut unir des passions et des forces contraires. Il peut être, à la fois ou successivement, acte de générosité ou acte de violence, mais dans ce cas d’une violence déguisée en un geste désintéressé puisqu’elle s’exerce au moyen et sous la forme d’un partage. » (p.21)

Décidément ce chiffre 2 est un Janus incarné, ambivalent au possible, représentant tour à tour l’union ou la division. Oui, en mathématiques par exemple pour faire une union d’ensemble, on est obligé d’en avoir deux au minimum. Et puis, c’est le plus petit entier naturel qui change le résultat de la division et de la multiplication. Quand on multiplie ou divise par 1, ça ne change rien. Alors qu’avec 2 en multipliant un objet, on le double et en le divisant, on le réduit de moitié. Et puis surtout, il reste le premier des nombres premiers unique en son genre puisque pair, et même si tout cela n’est qu’affaire de sémantique, cela le rend très séduisant.

  1. Au nombre fantastique de… trois. []
  2. Un nombre premier est un nombre entier qui est uniquement divisible par 1 et par lui-même. On refuse d’attribuer à 1 la caractéristique d’être premier car 1 n’est pas différent de lui-même. []
  3. Bien plus que par la simplicité de cette explication. []
  4. Au milieu de tant d’autres. []
  5. Ce 2 en indice signifie que l’on est en base 2. Ainsi on évite toute confusion avec la base 10. []
  6. En tout cas en écriture binaire. []
  7. Ou de riz selon les légendes. []
  8. Certains en viennent même à dire que je ne fais pas de vraies mathématiques. []
  9. Notamment pour les courbes elliptiques []
  10. Marcel Mauss, 2008. Essai sur le don. Paris, Presses Universitaires de France. []
  11. Michel Foucault, 2011. « Échanger », Les mots et les choses. Mesnil-sur-L’Estrée, tel Gallimard. []
  12. Maurice Godelier, 2010. L’énigme du don. Malesherbes, Champs essai. []

3 réflexions au sujet de « 2, ce premier des premiers »

    1. C’est une autre propriété sympathique de 2. Comme J. me l’a dit au téléphone, elle est à relier à la première propriété donnée dans l’article. On peut, grâce à elle, écrire tous les nombres réels en utilisant uniquement des puissances de 2, mais d’une autre façon que celle que nous avons donné.

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *