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La Villariété : variété réflexive

Il y a un an, l’anthropologue et quelques-un(e)s de ses relations en sciences humaines ouvraient un carnet de recherche qui avait comme sujet la réflexivité dans leurs travaux. Il fut nommé « Espaces réflexifs » puis bientôt supplanté par « la Villa réflexive ». Un espace réflexif ? Hmm, ça me rappelle mes cours d’analyse fonctionnelle. Un rapide tour sur wikipédia suffit à rafraichir la mémoire mais je l’avoue, ça date et je ne saurais vraiment expliquer au néophyte l’intérêt d’un tel espace. Déjà, on sentait poindre le bout de son nez d’un petit jeu amusant, celui de donner un sens mathématique aux textes des sciences humaines et sociales. Le jeu inverse avait déjà été exploré. Il est vrai que les mathématiques empruntent le vocabulaire de la vie courante que l’on peut détourner à loisir. Cet article de Valerio Vassalo en est un exemple très amusant.

Chaque fois que ma moitié finit d’écrire ses articles, que ce soit pour la Villa réflexive, ses autres carnets de recherche ou sa thèse, elle les relit à voix haute. J’écoutais d’une oreille mais un passage retint mon attention :

« Mais un espace, c’est quoi ? J’aime beaucoup ces premiers mots donnés par le cnrtl : “Milieu idéal indéfini…” Un milieu, un environnement, un endroit dont on ne peut vraiment définir la forme et les contours mais dont on connait le lieu virtuel. C’est un espace numérique que l’on peut trouver sur le web à l’adresse suivante : http://reflexivites.hypotheses.org !1  C’est un milieu donc au milieu de nulle part ou peut-être de partout (enfin presque) : comment savoir ? Mais c’est un milieu idéal, rêvé, imaginé par une communauté. Et c’est ainsi que d’indéfini, cet espace se définit avec le temps et ses résidents. Cet espace ? Non, ces espaces ! Car, c’est ainsi qu’ils ont été définis à la base : pluriels ! Et pour cause ! Car à chaque mois et avec l’arrivée d’un nouveau résident, c’était un autre espace qui s’ouvrait à nous, un autre monde, un autre univers, un autre milieu, juste à côté du milieu précédent ou peut-être encore plus loin. Mais il était autre. Et c’est la singularité de chacun qui engendra cette pluralité des espaces. Des espaces idéaux… plus vraiment indéfinis car habités. Et en posant ses valises, le résident en dressait le nouveau décor. »
Messal, Stéphanie (26 décembre 2012) “Conte féérique pour Villa réflexive”. Espaces réflexifs [carnet de recherche]. Consulté le 13 Janvier 2013 – http://reflexivites.hypotheses.org/3577

Espace, idéal, défini, indéfini, milieu, base, singularité… Mais ça parle de maths !!!1 On ne pouvait pas laisser passer cette opportunité : c’était pile dans notre thématique. Me voilà donc au travail pour donner un sens mathématique à cet extrait.

Extraire

La première notion qui apparait est celle d' »espace« . Un espace en mathématiques, c’est assez général et puis ce ne sont pas les types d’espace qui manquent. Pour l’instant, ça ne restreint pas trop le champs de recherche. En plus, nous sommes en présence d’un espace indéfini et flou. Vais-je devoir replonger dans mes cours de topologie ? La deuxième notion est celle d' »idéal« . A ma connaissance, on parle des idéaux uniquement en algèbre. Me voilà déjà plus en terrain connu. Dans la suite du texte, les espaces sont d’un coup définis par une troisièmes notion : des « bases« . Bases, idéal… mais ça sent la géométrie algébrique à plein nez ! Et puis, la dernière notion, celle de « singularités« , qui apparait dans cet extrait me le confirme. Tout cela va m’amener à considérer la Villa réflexive comme une variété algébrique. Je décide de lui donner pour nom : « villariété » ! Cette villariété possède donc des singularités selon le texte : on dit donc que c’est une variété algébrique singulière. Le seul hic, c’est que les singularités ne sont pas trop mon fort, alors me voilà en quête d’aide. Je demande à mon ami et collègue V. quelques conseils.

1er échange en date du 4 Janvier 2013

date : Fri, Jan 4, 2013 at 12:44PM
from: Florian Caullery <…@gmail.com>
to: V. D. <…@gmail.com>

Salut V. et bonne année !

J’aurais besoin de tes lumières pour une question de géométrie. Stéphanie a écrit ce texte http://reflexivites.hypotheses.org/3577 et le troisième paragraphe utilise beaucoup de termes mathématiques. Elle m’a demandé de traduire ce que cela pourrait dire en mathématiques. Le problème, c’est que je n’y connais rien sur les singularités… Est-ce que toi tu pourrais tirer quelque chose de ce texte ?

Merci de ton aide !

Florian

date: Fri, Jan 4, 2013 at 6:46 PM
from: V. D. <…@gmail.com>
to: Florian Caullery <…@gmail.com>

Ça me semble faisable de rentrer du contenu mathématiques dans ce paragraphe. Quand tu considères une variété sur un corps algébriquement clos, tu as une infinité de points et à chacun de ses points, tu associes son espace tangent qui est défini en quelque sorte par les dérivées au point des équations de ta variété (regarde le chapitre « local study » du cours de géométrie algébrique sur la page de James Milne ou…wikipédia). Tu as donc une infinité de ces espaces tangents. Maintenant, un point est dit régulier ou non-singulier, lorsque la dimension (en tant qu’espace vectoriel) de cet espace tangent est égal à la dimension (géométrique) de ta variété, et singulier sinon. Au final, tu as donc une « notion de groupe » qui est la dimension de ta variété, et un point est singulier s’il ne respecte pas cette « notion de groupe » dans le sens où sa « notion locale » diffère de la notion globale (i.e. de groupe). Une variété (c’est-à-dire au final un espace géométrique algébrique) est donc « idéale » (c’est-à-dire non-singulière, mais globalement cette fois) si tous ses points sont réguliers. Par contre, elle est « définie » par des équations. Mais un schéma qui généralise la notion de variété est en général un objet défini de manière totalement abstraite c’est-à-dire non spécifié par des équations, et en ce sens peut être vu comme « indéfini » (cf Hartshorne ou…wikipédia =D). La notion de point singulier s’étend aux schémas, donc au final tu as trouvé ton espace indéfini idéal. =)

V.

2ème échange en date du 5 Janvier 2013

date: Sat, Jan 5, 2013 at 10:06 AM
from: Stéphanie Messal <…@wanadoo.fr>
to: V. D. <…@gmail.com>
cc: Florian Caullery <…@gmail.com>

Hello !

Bon alors, V., je ne voudrais pas te péter le moral mais… je n’ai rien compris ! Et Florian ne sait pas ce qu’est un schéma. Donc il dit qu’il est dans la merde.
Dire qu’à la base, je voulais faire un truc simple : juste à partir du paragraphe pour faire une construction mathématiques. Que ça donne une équation ou une figure géométrique ou que ça fasse référence à un théorème, etc. Enfin quelque chose dans le genre… Donc au final, on est toujours au point zéro.
Est-ce que tu crois qu’il te serait possible d’éclairer notre lanterne de façon plus… simple ? Ou sinon, mercredi je serai au labo avec Florian pour aller au CIRM : il y a la conférence d’ouverture pour les maths 2013. On pourra toujours en rediscuter à ce moment-là si tu préfères

Merci d’avance.

Bises :^)

Stéphanie

date: Sat, Jan 5, 2013 at 13:20 PM
from: V.D. <…@gmail.com>
to: Stéphanie Messal <…@wanadoo.fr>

Tape « tangent space » sur google images, tu auras plein de dessins. Le premier représente la sphère de Riemann et son espace tangent à un point quelconque (attention, la sphère est « creuse »). C’est un objet de dimension 2 vu sur les réels, donc de dimension 1 si vu comme objet complexe : c’est P^1(C), la courbe rationnelle. Son espace tangent est un plan réel comme tu peux le voir sur le dessin, donc encore une fois un objet de dimension 1 comme C-espace vectoriel. Les dimensions coïncident donc le point est non-singulier. Évidemment ça marche pour tous les points de la sphère, donc elle est elle-même non-singulière. Mes explications d’hier ne traitent que la version plus générale de ce genre de phénomènes.

Tu n’as pas besoin de savoir ce qu’est un schéma, la définition est compliquée. C’est juste que ça généralise la notion de variété.
Ce que j’ai expliqué hier et aujourd’hui c’est de l’ultra classique en géométrie, ça fera de la bonne révision à floflo. =)
Fais le bûcher jusqu’à ce qu’il soit capable de t’expliquer clairement. =D

A mercredi alors ! =)

V.

Nous n’avions pas la même lecture car lui, essayait de garder cette notion d’indéfini alors que je l’avais oubliée dès lors que l’espace était devenu défini. En plus, j’avoue ma totale ignorance sur les schémas.2 Je décide donc de rester avec ma villariété et ses singularités qui, pour reprendre l’idée de l’extrait, sont les auteurs de Villa.

Résoudre

Comme vous avez pu vous en rendre compte dans les échanges de mails, Wikipédia est une assez bonne base de données mathématiques. Je  la consulte alors pour savoir ce que l’on peut faire de ces singularités. Très vite, deux choix s’imposent à moi :

  1. Soit on les éclate.
  2. Soit on les résoud (dans le cas plus général).

Pas question d’aller « éclater » un quelconque auteur ! Quant à les résoudre… Cela fonctionne bien pour des singularités mathématiques mais pour des hommes… Quoiqu’il en soit, les deux méthodes répondent à ce même but : transformer une variété singulière en une autre non-singulière ou lisse comme on dit, en la plongeant dans un espace différent. Pourquoi résoudre ces singularités me direz-vous ? Parce qu’en mathématiques, une singularité est un point où une variété est mal définie : il y a quelque chose qui gêne, qui coince… On dit qu’elle se comporte mal. Par exemple, cette courbe en deux dimensions (à gauche sur le schéma ci-dessous) donne l’impression de passer deux fois par le point 0 (l’origine du repère). On dit qu’elle possède un point double. Ce point, différent des autres, est une singularité. Il est gênant car si l’on voulait représenter cette courbe avec un fil et rester toujours à la même hauteur, nous serions obligés de couper ce fil. Pour éliminer cette singularité, nous allons passer dans la troisième dimension (à droite sur le schéma). Nous voyons ainsi que la courbe ne passe plus deux fois par le même point : elle se déploie dans l’espace. Plus besoin de couper le fil ! Il suffisait de se déplacer dans une nouvelle direction pour changer son point de vue et ainsi de pouvoir percevoir cette courbe de façon lisse, c’est-à-dire, sans plus aucune singularité disgracieuse. Grâce à cette transformation, la courbe est parfaitement définie en tous points.

Singularité

Afin de mieux comprendre cette singularité, nous nous sommes déplacés d’un espace à un autre. Pour reprendre l’idée de Marie-Anne Paveau et de façon imagée, nous avons fait un « pas de côté ». C’est ici que le parallèle avec les Espaces réflexifs prend tout son sens. A chaque nouvel invité, c’est un autre espace qui s’étend dans la Villa réflexive et rejoint ceux déjà présents. Et bien sûr, chaque auteur y pénètre avec ses singularités propres : doutes, remises en question, réflexions sur son travail de recherche, etc. Cette Villa contient désormais une pluralité d’espaces.3 Tous ces espaces ainsi réunis sont autant de points de vue différents afin de mieux pouvoir appréhender toutes ces singularités, les exposant sous un angle nouveau mais aussi à d’autres regards.

Si je devais définir la villariété : « C’est l’ensemble des éléments (environnement et auteurs) qui constituent la Villa réfléxive ». Chaque auteur serait une singularité de cette variété et engendrerait une transformation de la Villa durant son séjour. A chaque nouvelle arrivée, la Villa se rapprocherait d’une variété lisse, c’est-à-dire qu’elle tendrait vers une vision plus fine et plus nette de la réflexivité, comme on ferait une mise au point via un objectif pour en obtenir la meilleure résolution qui soit.

IMG_2995crédit photographique : Stéphanie Messal

  1. En plus, elle fait référence à « Presque Partout ». []
  2. Lorsque j’avais posé la question de leur utilité pour ma thèse à mon directeur, il me donna cette réponse : « Les schémas… Il y a des gens qui en font ici (en parlant de notre laboratoire) mais ça ne donne pas grand chose. » Bon… je verrai ça quand j’aurai du temps. []
  3. Dont le nombre ira croissant dans le futur, nous le lui souhaitons. []

La quatrième dimension

Légende : Florian en noir – Stéphanie en gris 

Flatland, vous connaissez ?

Depuis qu’elle a décidé de se remettre aux mathématiques, Stéphanie s’est mise en tête de lire quelques livres reliés à ce sujet. Parmi eux figure Flatland. C’était une bonne façon pour elle de se rappeler de bons souvenirs de géométrie euclidienne vue à l’école d’architecture. Pour ne rien gâcher, l’histoire est plaisante et en plus, porteuse de leçons. Bref, un excellent bouquin qu’elle a découvert sur Images des Maths suite à l’article rédigé en décembre dernier par Aurélien Alvarez.

En plus, le livre est une réussite en tant qu’objet. Les finitions et le souci des détails m’ont vraiment beaucoup plu : une couverture mouvante, un texte qui suit les contours de forme géométrique, des reliures en couleur, etc.

L’histoire est simple, un carré, habitant du monde en deux dimensions (le fameux Flatland) prend conscience qu’il existe une troisième dimension après avoir reçu la visite d’une sphère : il s’agit du Spaceland. Le carré dit alors à la sphère qu’un jour elle recevra peut-être la visite d’un être en quatre dimensions. Celle-ci lui rit au nez et reste imperméable à la notion de dimension supérieure. Stéphanie, qui n’est pas une sphère (et je ne suis pas un carré non plus), se mit à réfléchir et une lueur1 apparut dans ses yeux. Elle me demanda alors :

« Et dis donc ! Tu imagines si on découvrait qu’il existait une quatrième dimension !? Bon évidemment, rien à voir avec la série éponyme. Je suis sûre qu’on peut faire une thèse là-dessus ! Viens, on révolutionne les maths ! »

Je ne savais pas quoi dire… Enfin plutôt, je ne savais pas comment lui dire. Comment lui dire que les mathématiciens ont ce super pouvoir de travailler avec quatre, cinq, six et même une infinité (voire plusieurs infinités) de dimensions. Je ne voulais pas briser ses espoirs et ses rêves les plus fous mais je devais m’y résoudre. Je lui expliquais qu’on ne pouvait peut-être pas percevoir ces dimensions mais qu’on pouvait représenter des objets de dimensions supérieures dans notre système à trois dimensions. Je lui donnais l’exemple de la bouteille de klein et pour rester proche de son domaine de base, l’architecture, de la Grande Arche de la Défense. Ce bâtiment n’est autre que la représentation en hypercube de l’espace (Z/2Z)4 : c’est donc un espace en quatre dimensions. C’est un espace certes un peu spécial car il est constitué uniquement de 0 et de 1, mais au moins, on peut approcher la quatrième dimension.

« C’est quoi Z/2? Ça représente quoi ? »

Z, ce n’est pas ce personnage de Pulp Fiction2 aux moeurs sexuelles sado-masochistes. Z, c’est l’ensemble des restes de la division par 2 des entiers relatifs. Donc c’est juste 0 et 1. 0 représente en fait tous les nombres pairs, et 1 tous les nombres impairs. On a alors 0+0 = 0, 1+0 = 1 et 1+1 = 0. Et oui, quand on ajoute deux nombres impairs, on obtient un nombre pair ! Alors (Z/2Z)4 c’est juste l’ensemble de tous les quadruplets possible de 0 et de 1, de (0, 0, 0, 0) à (1, 1, 1, 1) en passant par (1,0,1,0).

Ainsi, on ne révolutionnera donc pas les mathématiques avec la quatrième dimension mais comme d’habitude, la réponse à un problème soulève bien plus de questions qu’elle n’en clôt. Ainsi notre chère Stéphanie est partie sur les longs chemins de la géométrie en n-dimensions puisque rappelons-le, pour certaines infinies. Peut-être arrivera-t-elle bientôt à la topologie, aux espaces hilbertiens et à bien d’autres univers qui sont loin d’être plats.

En attendant d’arpenter ces chemins, elle me répondit alors :

« Oui mais, là, tu me parles de représentation d’éléments contenus dans les n-dimensions. Mais, nous les humains, on ne les voit pas ces autres dimensions, on ne les vit pas. La vraie révolution, ce serait de donner la possibilité aux Hommes de les voir, de les vivre en vrai. C’est comme si un jour, un élément venu de la quatrième dimension venait à nous, pour nous montrer son monde et ainsi révélé, nous pourrions le vivre à notre tour. Donc, il y a encore tout à faire… » 

Je lui racontais alors comment j’avais conceptualisé la sphère en quatre dimensions. Pendant un cours d’intégration en troisième année de licence avec l’excellent M. Candelpergher, où nous calculions le volume de cette fameuse sphère en quatre dimensions, je me dis qu’elle devait tout simplement être une sphère qui grandissait et rapetissait en temps constant. C’est d’ailleurs cette idée qui est développée dans Flatland quand le carré rencontre la sphère : il voit une ligne grandir et rapetisser devant lui avant de comprendre que cette ligne est un cercle. Puis, quand la sphère l’élève dans l’espace, il réalise alors ce qu’est la troisième dimension.

Nous attendons toujours que cette sphère en quatre dimensions se manifeste, peut-être nous emmenera-t-elle avec elle !

Alors bien sûr, je continue de me poser plein de questions à propos de toutes ces dimensions. Généralement, il est dit que la 4ème dimension est le temps. Nous pouvons nous déplacer dans l’espace mais pas dans le temps. Alors peut-être qu’il faut orienter son regard vers cette dimension du temps. Difficile de voir passer le temps si ce n’est sur nos horloges, mais encore plus difficile de pouvoir évoluer sur le fil du temps dans des allers-retours qui seraient parfaitement naturels.

Mais, j’ai encore eu une autre révélation… On parle de la 1ère, 2ème, 3ème, 4ème dimension… Comme si ces dimensions devaient se lire dans cet ordre. Mais qui me dit que les trois dimensions que je perçois en tant qu’humain ne sont pas la 20ème, la 3078ème et la 126947ème dimension ? Que mon système biologique fait en sorte que je ne puisse percevoir que trois dimensions spécifiques parmi les n-dimensions ? Que ces dimensions ne sont peut-être pas consécutives ? Pour revenir au temps comme quatrième dimension, je me demande si nous ne la percevons pas déjà. Si je reprends l’idée de Florian et de sa sphère qui grandit et rapetisse : nous naissons, nous grandissons, nous vieillissons, nous nous ratatinons, nous mourrons. Bref, on fait un cycle qui part de « rien » pour arriver à un « pic » qui redeviendra un « rien ».

Ensuite, si le carré de Flatland perçoit la sphère comme un cercle, cela veut dire que dans notre monde, nous percevrions la sphère 4D comme une sphère 3D qui apparaîtrait dans notre espace. On sait que notre espace est fait d’une infinité de plans. Je m’imaginais recevant la visite de cette sphère 4D et j’ai presque eu peur… Soudain, dans l’espace de ma chambre, surgirait une sphère de nulle part. Et très honnêtement, ma plus grande crainte était quelle puisse me toucher, m’écraser ! Ma crainte fut d’autant plus grande quand Florian m’expliqua que cette sphère pouvait se matérialiser dans mon corps puisque nous sommes des « volumes » en quelques sorte…

Et là, peut-être mon esprit est-il parti trop loin dans les tours de l’imagination. Lorsque je me surpris à imaginer cette sphère qui poussait en moi, je ne pus échapper à l’image du foetus grandissant dans le ventre de sa mère. Et d’un coup, je me mis à penser que c’était peut-être cela l’autre dimension… Que les dimensions fonctionnaient comme des poupées gigognes. C’est à-dire que chacun contiendrait une autre dimension, elle-même contenue dans une autre dimension et ainsi de suite. Alors évidemment, il est difficile parfois de discuter avec Florian et de se comprendre parce que j’use souvent de métaphores et que Florian en tant que bon mathématicien reste dans un discours des plus pragmatiques. Bien sûr que l’enfant dans le ventre de sa mère est en 3D, tout comme sa mère d’ailleurs. Il n’y pas une dimension en plus ou en moins ! Mais c’est par cette vision que j’ai pu comprendre que la dimension supérieure contenait l’ensemble des dimensions inférieures.

Par contre, je suis très déçue du choix sémantique. Si je vous écris n2, vous allez le lire « n au carré ». Si je vous écris n3, vous allez le lire « n au cube ». Mais pour n4 ? On se cantonne au classique « n puissance 4″ ? C’est très frustrant quelque part. Certains parlent d’hypercube… Mais ce n’est pas vraiment « vendeur » ! Mais en même temps, comment nommer les choses quand on ne les a jamais rencontrées ?

La seule chose dont nous sommes sûrs, c’est que la quatrième dimension contient une infinité d’espaces infinis en trois dimensions, comme notre espace contient une infinité de plans en deux dimensions ! Alors forcément notre espace est inclus dans cette quatrième dimension, mais cela ne nous donne malheuresement pas le pouvoir de la percevoir. Je comprends parfaitement la déception de Stéphanie. Par contre cette idée des poupées gigognes est vraiment très bonne. Je renvoie à mon exemple précédent de la Grande Arche de la Défense : l’hypercube en quatre dimensions contient bien le cube en trois dimensions.

En conclusion, nous ne sommes pas prêts de voir cette quatrième dimension, sauf grâce à cette magnifique série télé diffusée en France en 19843 alors que je n’étais pas encore né ou bien encore grâce à notre imagination. Pour cela, je vous renvoie vers le livre de Timothy Gowers, Petite initiation aux mathématiques, au chapitre 5.2 « Peut-on visualiser un espace à quatre dimensions ? » :

« Certains mathématiciens sont spécialisées dans la géométrie à quatre dimensions, et leur puissance de visualisation en quatre dimensions est extrêmement développée.
Cette questions psychologique a une importance mathématique qui va bien au-delà de la géométrie. Un des plaisirs qu’il y a à consacrer sa vie à la recherche en mathématiques est qu’au fur et à mesure que l’on accroît sa compétence, on trouve que l’on devient capable de « voir » les réponses à des questions de plus en plus nombreuses qui auraient pris des heures de réflexion difficile […] » (Gowers, 2011 : 71)

Crédit : photo des Nesting-dolls prise par Elizabeth Ruuska et hébergée sur Flickr, eruuska.

25 Janvier 2013

Aujourd’hui, j’ai découvert un site où l’on peut trouver : « links to lots of cool mathy things on the internet. » Ce site, c’est Math Munch ! Croyez-moi ou non, mais dans leur article « A Closet Full of Puzzles, Sphereland, and Math Doodles«  daté du 21 janvier 2013, ils consacrent un paragraphe à Flatland, le livre (disponible en ligne, en anglais) et le film mais aussi et surtout, à sa suite Flatland 2, sobrement intitulé Sphereland qui s’inspire de l’ouvrage de Dionys Burger publié en 1965. Et là, j’ai poussé un râle de victoire puisqu’il s’agit de la rencontre du 4ème type,4 comprenez celle avec cette fameuse hypersphère venue de la 4ème dimension.

Oh ! J’allais oublier de vous laisser une vidéo fan-tas-tique. Vous y découvrirez la manipulation d’un hypercube5 flexible : un peu de translation par-ci, un peu de symétrie par-là et le tour est joué.

4 Février 2013

Le 26 Janvier dernier, @tribegram6 a organisé un instawalk7 à la Défense : décidément, l’hypercube est à la mode ! Je vous propose de découvrir cette Grande Arche de la Défense sous tous ces angles grâce à quelques clichés.

 

Crédit : photos la Grande Arche de la Défense par @mydame et @cecile_and_co

  1. Un peu comme cette ampoule qui s’illumine au-dessus d’Archimède dans des dessins humouristiques lorsqu’il s’exclame, alors que la lumière révélatrice vient à lui : « Eurêka ! ». []
  2. Célèbre film de Quentin Tarantino sorti en 1994. []
  3. Le titre original est The Twilight Zone, série créée par Rod Serling. []
  4. En référence à ce superbe film de science-fiction, « La rencontre du 3ème type » (titre original « Close encounters of the third kind ») réalisé par Steven Spielberg en 1977. []
  5. Comme la fameuse Grand Arche de la Défense à laquelle Florian faisait souvent référence dans cet article. []
  6. Compte instagram créé à l’initiative de @mydame, une utilisatrice de cette apps photo pour téléphone portable. []
  7. Une balade dans un quartier particulier. []